9) Num quadrado de 1m de lado, tomamos o ponto médio de cada lado e traçamos outro quadrado, inscrito no primeiro. Repetindo esse processo indefinidamente, qual será a soma das áreas de todos os quadrados obtidos?
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Kayky
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04/11/24

Question

Question image: 9) Num quadrado de 1m de lado, tomamos o ponto médio de cada lado e traçamos outro quadrado, inscrito no primeiro. Repetindo esse processo indefinidamente, qual será a soma das áreas de todos os quadrados obtidos?

9) Num quadrado de 1m de lado, tomamos o ponto médio de cada lado e traçamos outro quadrado, inscrito no primeiro. Repetindo esse processo indefinidamente, qual será a soma das áreas de todos os quadrados obtidos?

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04/11/24

Accepted Answer

Para resolver esse problema, vamos analisar o processo de formação dos quadrados inscritos.

1. **Quadrado inicial**: Tem lado de 1m, então sua área é $1^2 = 1 \, \text{m}^2$.

2. **Quadrado inscrito**: Quando inscrevemos um quadrado no outro, a diagonal do quadrado inscrito é igual ao lado do quadrado anterior. Se o lado do quadrado inicial é 1m, a diagonal do quadrado inscrito também será 1m.

3. **Relação entre lado e diagonal**: Para um quadrado de lado $a$, a diagonal é $a\sqrt{2}$. Assim, se a diagonal é 1m, o lado do quadrado inscrito é $\frac{1}{\sqrt{2}}$.

4. **Área do quadrado inscrito**: A área do quadrado inscrito é $\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{1}{2} \, \text{m}^2$.

5. **Processo repetido**: Cada novo quadrado inscrito tem sua área reduzida pela metade em relação ao quadrado anterior.

6. **Soma das áreas**: Temos uma soma infinita de áreas que formam uma progressão geométrica:

$$
   S = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \ldots
   $$

Essa é uma série geométrica infinita de razão $r = \frac{1}{2}$.

7. **Fórmula da soma da série geométrica infinita**:

$$
   S = \frac{a_1}{1 - r}
   $$

Onde $a_1 = 1$ e $r = \frac{1}{2}$:

$$
   S = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2
   $$

Portanto, a soma das áreas de todos os quadrados obtidos é $2 \, \text{m}^2$.