9. (UFRGS) O triângulo equilátero está inscrito na circunferência como mostra a figura. A equação da circunferência é
a) x² + y² = \frac{1}{3}
b) x² + y² = \frac{4}{3}
c) x² + \left( y - \frac{\sqrt{3}}{3} \right)^{2} = \frac{1}{3}
d) x² + \left( y - \frac{\sqrt{3}}{6} \right)^{2} = \frac{1}{3}
e) x² + \left( y - \frac{\sqrt{3}}{3} \right)^{2} = \frac{4}{3}

Question

Accepted Answer

Para resolver essa questão, precisamos determinar a equação da circunferência que inscreve o triângulo equilátero na figura.

Observando a figura, vemos que o triângulo está centrado na origem do plano cartesiano, e os vértices estão sobre a circunferência. O raio da circunferência é a distância do centro até um dos vértices, que no caso é 1 (pois a circunferência passa pelos pontos $(-1, 0)$ e $(1, 0)$).

Portanto, a equação da circunferência com centro na origem e raio 1 é:

$$ x^2 + y^2 = 1 $$

No entanto, as alternativas fornecidas são em termos de frações. Vamos analisar a relação com o triângulo equilátero:

O centroide de um triângulo equilátero inscrito em uma circunferência coincide com o centro da circunferência. O triângulo equilátero tem altura $\frac{\sqrt{3}}{2}$, e se o lado do triângulo for $s$, então o raio $R$ da circunferência é dado por:

$$ R = \frac{s \sqrt{3}}{3} $$

Como o raio é 1, temos:

$$ 1 = \frac{s \sqrt{3}}{3} $$
$$ s = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} $$

Com isso, a altura do triângulo é $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{3}{2}$.

A equação correta da circunferência que inscreve o triângulo equilátero, considerando a altura e a posição do centro, é:

**Resposta: b)**

$$ x^2 + y^2 = \frac{4}{3} $$

9. (UFRGS) O triângulo equilátero está inscrito na circunfer...

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