9. Uma vinícola vende 40.000 litros de vinho por mês a R$ 36,00 cada litro. Os proprietários perceberam que, para cada centavo de desconto concedido por litro, eram vendidos 50 litros a mais por mês. Por exemplo, no mês em que o preço do litro era de R$ 35,40, foram vendidos 43.000 litros.

Considere x o valor, em centavos, do desconto dado no preço de cada litro de vinho e V o valor, em reais, arrecadado por mês com a venda de vinho.

I. Que função polinomial de 2ª grau nos informa o valor de V em função de x?
(A) V(x) = -x² + 1400x + 1440000
(B) V(x) = -2x² + 1400x + 288000
(C) V(x) = 2x² + 700x + 1440000
(D) V(x) = -1/2x² + 700x + 2880000
(E) V(x) = -1/2x² + 1400x + 1440000

II. Qual é o melhor desconto a ser dado para maximizar a arrecadação total em reais?
(A) R$ 0,28
(B) R$ 1,40
(C) R$ 2,80
(D) R$ 14,00
(E) R$ 28,00

III. Qual é o maior valor de V?
(A) R$ 242.000,00
(B) R$ 512.000,00
(C) R$ 1.210.000,00
(D) R$ 2.420.000,00
(E) R$ 4.840.000,00

Question

9. Uma vinícola vende 40.000 litros de vinho por mês a R$ 36,00 cada litro. Os proprietários perceberam que, para cada centavo de desconto concedido por litro, eram vendidos 50 litros a mais por mês. Por exemplo, no mês em que o preço do litro era de R$ 35,40, foram vendidos 43.000 litros.

Considere x o valor, em centavos, do desconto dado no preço de cada litro de vinho e V o valor, em reais, arrecadado por mês com a venda de vinho.

I. Que função polinomial de 2ª grau nos informa o valor de V em função de x?
(A) V(x) = -x² + 1400x + 1440000
(B) V(x) = -2x² + 1400x + 288000
(C) V(x) = 2x² + 700x + 1440000
(D) V(x) = -1/2x² + 700x + 2880000
(E) V(x) = -1/2x² + 1400x + 1440000

II. Qual é o melhor desconto a ser dado para maximizar a arrecadação total em reais?
(A) R$ 0,28
(B) R$ 1,40
(C) R$ 2,80
(D) R$ 14,00
(E) R$ 28,00

III. Qual é o maior valor de V?
(A) R$ 242.000,00
(B) R$ 512.000,00
(C) R$ 1.210.000,00
(D) R$ 2.420.000,00
(E) R$ 4.840.000,00

Accepted Answer

**Resposta:**

I. **(E)**  
A função polinomial que informa o valor de $ V $ em função de $ x $ é:  
$$
V(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 1400x + 1440000.
$$

Explicação:  
- O preço por litro diminui em $ x $ centavos, ou seja, o preço do litro será $ 3600 - x $ (em centavos).  
- A quantidade vendida aumenta em $ 50x $, ou seja, será $ 40000 + 50x $.  
- A arrecadação total é dada pela multiplicação da quantidade pelo preço:  
$$
V(x) = (3600 - x)(40000 + 50x).
$$
- Expandindo e simplificando, obtemos:  
$$
V(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 1400x + 1440000.
$$

---

II. **(B)**  
O melhor desconto a ser dado para maximizar a arrecadação total é **R\$ 1,40**.

Explicação:  
- A função $ V(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 1400x + 1440000 $ é uma parábola com concavidade para baixo ($ a < 0 $).  
- O valor de $ x $ que maximiza $ V(x) $ é dado pelo vértice da parábola:  
$$
x = -\frac{b}{2a}.
$$
Substituindo os valores $ a = -\frac{1}{2} $ e $ b = 1400 $:  
$$
x = -\frac{1400}{2(-\frac{1}{2})} = \frac{1400}{1} = 140 \text{ centavos}.
$$
Convertendo para reais: $ 140 \, \text{centavos} = R\$ 1,40 $.

---

III. **(D)**  
O maior valor de $ V $ é **R\$ 2.420.000,00**.

Explicação:  
- Para encontrar o valor máximo de $ V $, substituímos $ x = 140 $ na função $ V(x) $:  
$$
V(140) = -\frac{1}{2}(140)^2 + 1400(140) + 1440000.
$$
Calculando:  
$$
V(140) = -\frac{1}{2}(19600) + 196000 + 1440000,
$$
$$
V(140) = -9800 + 196000 + 1440000,
$$
$$
V(140) = 2420000 \, \text{reais}.
$$

9. Uma vinícola vende 40.000 litros de vinho por mês a R$ 36...

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