9ª) Encontre o campo elétrico a uma distância z do centro de uma superfície esférica de raio R (ver figura abaixo), a qual tem uma densidade superficial de carga uniforme e igual a σ. Expresse sua resposta em termos da carga total (q) da esfera.

Aborde separadamente os casos:

a) z < R (pontos internos); b) z > R (pontos externos).

DICAS: • Use a Lei dos Cossenos para escrever |r⃗ - r⃗'| em termos de R e θ; • Se z > R, então √(z² + R² - 2zR) = z - R; • Se z < R, então √(z² + R² - 2zR) = R - z.

Q: 9ª) Encontre o campo elétrico a uma distância z do centro de uma superfície esférica de raio R (ver figura abaixo), a qual tem uma densidade superficial de carga uniforme e igual a σ. Expresse sua resposta em termos da carga total (q) da esfera. Aborde separadamente os casos: a) z R (pontos externos). DICAS: • Use a Lei dos Cossenos para escrever |r⃗ - r⃗'| em termos de R e θ; • Se z > R, então √(z² + R² - 2zR) = z - R; • Se z < R, então √(z² + R² - 2zR) = R - z.

Para resolver o problema, precisamos calcular o campo elétrico $ \mathbf{E} $ a uma distância $ z $ do centro de uma superfície esférica com raio $ R $ e densidade superficial de carga $ \sigma $. A carga total da esfera é $ q $. ### Caso a) $ z R $ (pontos externos) Para pontos fora da esfera, podemos usar a Lei de Gauss. Considerando uma superfície gaussiana esférica de raio $ z $, o campo elétrico tem simetria radial: \[ \oint \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \frac{q}{\varepsilon_0} \] Como o campo elétrico é constante sobre a superfície gaussiana, temos: \[ E \cdot 4\pi z^2 = \frac{q}{\varepsilon_0} \] Portanto, o campo elétrico é dado por: \[ E = \frac{q}{4\pi \varepsilon_0 z^2} \] Onde $ q = \sigma \cdot 4\pi R^2 $ é a carga total da esfera. Substituindo $ q $, obtemos: \[ E = \frac{\sigma \cdot 4\pi R^2}{4\pi \varepsilon_0 z^2} = \frac{\sigma R^2}{\varepsilon_0 z^2} \] Assim, o campo elétrico para $ z > R $ é: \[ \mathbf{E} = \frac{\sigma R^2}{\varepsilon_0 z^2} \hat{\mathbf{z}} \] onde $ \hat{\mathbf{z}} $ é o vetor unitário na direção radial.

Question

9ª) Encontre o campo elétrico a uma distância z do centro de uma superfície esférica de raio R (ver figura abaixo), a qual tem uma densidade superficial de carga uniforme e igual a σ. Expresse sua resposta em termos da carga total (q) da esfera.

Aborde separadamente os casos:

a) z < R (pontos internos); b) z > R (pontos externos).

DICAS: • Use a Lei dos Cossenos para escrever |r⃗ - r⃗'| em termos de R e θ; • Se z > R, então √(z² + R² - 2zR) = z - R; • Se z < R, então √(z² + R² - 2zR) = R - z.

Question image: 9ª) Encontre o campo elétrico a uma distância z do centro de uma superfície esférica de raio R (ver figura abaixo), a qual tem uma densidade superficial de carga uniforme e igual a σ. Expresse sua resposta em termos da carga total (q) da esfera.

Aborde separadamente os casos:

a) z < R (pontos internos);
b) z > R (pontos externos).

DICAS:
• Use a Lei dos Cossenos para escrever |r⃗ - r⃗'| em termos de R e θ;
• Se z > R, então √(z² + R² - 2zR) = z - R;
• Se z < R, então √(z² + R² - 2zR) = R - z.

Accepted Answer

Para resolver o problema, precisamos calcular o campo elétrico $ \mathbf{E} $ a uma distância $ z $ do centro de uma superfície esférica com raio $ R $ e densidade superficial de carga $ \sigma $. A carga total da esfera é $ q $. ### Caso a) $ z < R $ (pontos internos) Dentro de uma esfera carregada uniformemente, o campo elétrico é zero devido à simetria esférica. Portanto, para $ z < R $: $$ \mathbf{E} = 0 $$ ### Caso b) $ z > R $ (pontos externos) Para pontos fora da esfera, podemos usar a Lei de Gauss. Considerando uma superfície gaussiana esférica de raio $ z $, o campo elétrico tem simetria radial: $$ \oint \mathbf{E} \cdot d\mathbf{A} = \frac{q}{\varepsilon_0} $$ Como o campo elétrico é constante sobre a superfície gaussiana, temos: $$ E \cdot 4\pi z^2 = \frac{q}{\varepsilon_0} $$ Portanto, o campo elétrico é dado por: $$ E = \frac{q}{4\pi \varepsilon_0 z^2} $$ Onde $ q = \sigma \cdot 4\pi R^2 $ é a carga total da esfera. Substituindo $ q $, obtemos: $$ E = \frac{\sigma \cdot 4\pi R^2}{4\pi \varepsilon_0 z^2} = \frac{\sigma R^2}{\varepsilon_0 z^2} $$ Assim, o campo elétrico para $ z > R $ é: $$ \mathbf{E} = \frac{\sigma R^2}{\varepsilon_0 z^2} \hat{\mathbf{z}} $$ onde $ \hat{\mathbf{z}} $ é o vetor unitário na direção radial.

9ª) Encontre o campo elétrico a uma distância z do centro de...

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