A altura e a mediana relativa ao vértice B do triângulo ABC estão contidas, repectivamente, em r: X=(-6,0,3)+lambda(3,2,0) e s: X=(0,0,3)+lambda(3,-2,0). Sendo C=(4,-1,3). Determine A e B.
A
Aluno
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31/05/24

Question

A altura e a mediana relativa ao vértice B do triângulo ABC estão contidas, repectivamente, em r: X=(-6,0,3)+lambda(3,2,0) e s: X=(0,0,3)+lambda(3,-2,0). Sendo C=(4,-1,3). Determine A e B.

Accepted Answer

Para resolver o problema, precisamos determinar as coordenadas dos vértices $ A $ e $ B $ do triângulo $ ABC $ com base nas informações fornecidas sobre as retas $ r $ e $ s $.

Primeiro, vamos analisar a reta $ r $, que é a altura relativa ao vértice $ B $. A equação paramétrica da reta $ r $ é dada por:

$$ \mathbf{X}_r = (-6, 0, 3) + \lambda (3, 2, 0) $$

Isso significa que qualquer ponto $ \mathbf{P} $ na reta $ r $ pode ser escrito como:

$$ \mathbf{P}_r = (-6 + 3\lambda, 0 + 2\lambda, 3) $$

Agora, vamos analisar a reta $ s $, que é a mediana relativa ao vértice $ B $. A equação paramétrica da reta $ s $ é dada por:

$$ \mathbf{X}_s = (0, 0, 3) + \lambda (3, -2, 0) $$

Isso significa que qualquer ponto $ \mathbf{Q} $ na reta $ s $ pode ser escrito como:

$$ \mathbf{Q}_s = (0 + 3\lambda, 0 - 2\lambda, 3) $$

Sabemos que o ponto $ C $ é dado por $ C = (4, -1, 3) $.

### Determinação do ponto $ B $

A mediana relativa ao vértice $ B $ passa pelo ponto médio do segmento $ AC $. Vamos denotar o ponto médio de $ AC $ como $ M $. As coordenadas de $ M $ são dadas por:

$$ M = \left( \frac{x_A + x_C}{2}, \frac{y_A + y_C}{2}, \frac{z_A + z_C}{2} \right) $$

Como $ M $ está na reta $ s $, podemos escrever:

$$ M = (0 + 3\lambda, 0 - 2\lambda, 3) $$

E sabemos que $ M $ também pode ser expresso como:

$$ M = \left( \frac{x_A + 4}{2}, \frac{y_A - 1}{2}, \frac{3 + z_A}{2} \right) $$

Igualando as duas expressões para $ M $:

$$ \left( 3\lambda, -2\lambda, 3 \right) = \left( \frac{x_A + 4}{2}, \frac{y_A - 1}{2}, \frac{3 + z_A}{2} \right) $$

Dessa igualdade, obtemos três equações:

1. $ 3\lambda = \frac{x_A + 4}{2} $
2. $ -2\lambda = \frac{y_A - 1}{2} $
3. $ 3 = \frac{3 + z_A}{2} $

Resolvendo a terceira equação:

$$ 3 = \frac{3 + z_A}{2} $$
$$ 6 = 3 + z_A $$
$$ z_A = 3 $$

Substituindo $ z_A = 3 $ nas outras duas equações:

1. $ 3\lambda = \frac{x_A + 4}{2} $
2. $ -2\lambda = \frac{y_A - 1}{2} $

Multiplicando ambas as equações por 2:

1. $ 6\lambda = x_A + 4 $
2. $ -4\lambda = y_A - 1 $

Isolando $ x_A $ e $ y_A $:

1. $ x_A = 6\lambda - 4 $
2. $ y_A = -4\lambda + 1 $

Agora, como a altura relativa ao vértice $ B $ é perpendicular ao lado $ AC $, e $ B $ está na reta $ r $:

$$ B = (-6 + 3\mu, 0 + 2\mu, 3) $$

### Determinação de $ \lambda $

Para encontrar $ \lambda $, substituímos $ x_A $ e $ y_A $ nas equações da mediana e resolvemos para $ \lambda $:

$$ 6\lambda = x_A + 4 $$
$$ -4\lambda = y_A - 1 $$

Substituindo $ x_A = 6\lambda - 4 $ e $ y_A = -4\lambda + 1 $:

$$ 6\lambda = (6\lambda - 4) + 4 $$
$$ -4\lambda = (-4\lambda + 1) - 1 $$

Ambas as equações são verdadeiras para qualquer valor de $ \lambda $.

### Conclusão

As coordenadas dos pontos $ A $ e $ B $ são determinadas em função de $ \lambda $:

- $ B = (-6 + 3\mu, 0 + 2\mu, 3) $
- $ A = (6\lambda - 4, -4\lambda + 1, 3) $

Para valores específicos de $ \lambda $ e $ \mu $, podemos obter coordenadas específicas para $ A $ e $ B $.