A base de uma pirâmide é uma das faces de um cubo de aresta 2 cm. Sendo a aresta lateral da pirâmide igual à
diagonal do cubo e supondo que a pirâmide e o cubo estão em semiespaços opostos em relação ao plano da base
da pirâmide (figura abaixo), calcule:
a) a área total do sólido formado pela união da pirâmide com o cubo.
b) o volume total contido no sólido.
c) a aresta lateral da pirâmide.

Question

A base de uma pirâmide é uma das faces de um cubo de aresta 2 cm. Sendo a aresta lateral da pirâmide igual à
diagonal do cubo e supondo que a pirâmide e o cubo estão em semiespaços opostos em relação ao plano da base
da pirâmide (figura abaixo), calcule:
a) a área total do sólido formado pela união da pirâmide com o cubo.
b) o volume total contido no sólido.
c) a aresta lateral da pirâmide.

Accepted Answer

Vamos resolver passo a passo:

### Dados:
- O cubo tem aresta de 2 cm.
- A base da pirâmide é uma das faces do cubo.
- A aresta lateral da pirâmide é igual à diagonal do cubo.

### a) Área total do sólido formado pela união da pirâmide com o cubo

Para calcular a área total, precisamos somar as áreas das superfícies externas do cubo e da pirâmide.

#### Área do cubo:
O cubo tem 6 faces, cada uma com área $2 \times 2 = 4 \, \text{cm}^2$.

$$
\text{Área total do cubo} = 6 \times 4 = 24 \, \text{cm}^2
$$

#### Área da pirâmide:
A base da pirâmide é uma face do cubo, então a área da base é $4 \, \text{cm}^2$.

As outras faces da pirâmide são triângulos isósceles com a base de 2 cm e altura que é a aresta lateral da pirâmide. Vamos calcular a aresta lateral da pirâmide primeiro.

### c) Aresta lateral da pirâmide

A aresta lateral da pirâmide é igual à diagonal do cubo. A diagonal do cubo pode ser calculada usando a fórmula da diagonal espacial de um cubo:

$$
d = a\sqrt{3}
$$

Onde $a$ é a aresta do cubo. Portanto:

$$
d = 2\sqrt{3} \, \text{cm}
$$

Logo, a aresta lateral da pirâmide é $2\sqrt{3} \, \text{cm}$.

### Continuando com a área da pirâmide

Cada face lateral da pirâmide é um triângulo isósceles com base de 2 cm e lados de $2\sqrt{3} \, \text{cm}$. A altura $h$ do triângulo pode ser encontrada usando o teorema de Pitágoras em relação ao segmento que vai do centro da base até o meio da base do triângulo:

$$
h = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 - 1^2} = \sqrt{12 - 1} = \sqrt{11} \, \text{cm}
$$

A área de um triângulo é dada por:

$$
A_{\text{triângulo}} = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{altura} = \frac{1}{2} \times 2 \times \sqrt{11} = \sqrt{11} \, \text{cm}^2
$$

A pirâmide tem 4 faces laterais, então a área total das faces laterais é:

$$
4 \times \sqrt{11} \, \text{cm}^2
$$

Somando a área da base, a área total da pirâmide é:

$$
\text{Área total da pirâmide} = 4 + 4\sqrt{11} \, \text{cm}^2
$$

### Área total do sólido

Como a base da pirâmide é uma face do cubo que não está mais exposta, a área total do sólido é a área do cubo menos uma face mais a área total da pirâmide:

$$
\text{Área total do sólido} = 24 - 4 + 4 + 4\sqrt{11} = 24 + 4\sqrt{11} \, \text{cm}^2
$$

### b) Volume total contido no sólido

#### Volume do cubo:
$$
V_{\text{cubo}} = a^3 = 2^3 = 8 \, \text{cm}^3
$$

#### Volume da pirâmide:
O volume de uma pirâmide é dado por:

$$
V_{\text{pirâmide}} = \frac{1}{3} \times \text{área da base} \times \text{altura}
$$

A altura da pirâmide é a distância entre o vértice e o centro da base, que é a aresta do cubo $a = 2 \, \text{cm}$:

$$
V_{\text{pirâmide}} = \frac{1}{3} \times 4 \times 2 = \frac{8}{3} \, \text{cm}^3
$$

Então, o volume total do sólido é:

$$
V_{\text{total}} = V_{\text{cubo}} + V_{\text{pirâmide}} = 8 + \frac{8}{3} = \frac{32}{3} \, \text{cm}^3
$$

### Respostas Finais:

$$
\text{a) Área total do sólido: } 24 + 4\sqrt{11} \, \text{cm}^2
$$

$$
\text{b) Volume total do sólido: } \frac{32}{3} \, \text{cm}^3
$$

$$
\text{c) Aresta lateral da pirâmide: } 2\sqrt{3} \, \text{cm}
$$

A base de uma pirâmide é uma das faces de um cubo de aresta ...

Ask a question and receive an answer instantly