A componente x do vetor r⃗ é –25,0 m e a componente y é + 40,0 m. Determine:
(a) Qual é o módulo de r⃗ ?
(b) Qual é o ângulo entre a orientação de r⃗ e o semieixo x positivo?

Question

A componente x do vetor r⃗ é –25,0 m e a componente y é + 40,0 m. Determine: 
(a) Qual é o módulo de r⃗ ?  
(b) Qual é o ângulo entre a orientação de r⃗ e o semieixo x positivo?

Accepted Answer

Para resolver essa questão, podemos utilizar as propriedades dos vetores no plano cartesiano. O vetor $\vec{r}$ tem componentes $x = -25,0\ m$ e $y = +40,0\ m$.

### (a) Módulo de $\vec{r}$

O módulo de um vetor, também conhecido como magnitude, pode ser calculado usando o Teorema de Pitágoras, já que as componentes do vetor formam um triângulo retângulo com o vetor sendo a hipotenusa. A fórmula para calcular o módulo é:

$$
|\vec{r}| = \sqrt{x^2 + y^2}
$$

Substituindo os valores das componentes $x$ e $y$:

$$
|\vec{r}| = \sqrt{(-25,0)^2 + (40,0)^2} = \sqrt{625 + 1600} = \sqrt{2225}
$$

$$
|\vec{r}| = 47,2\ m
$$

### (b) Ângulo entre a orientação de $\vec{r}$ e o semieixo x positivo

O ângulo $\theta$ que o vetor faz com o eixo x pode ser encontrado usando a tangente inversa (arctan ou tan$^{-1}$), pois a tangente de um ângulo em um triângulo retângulo é igual à razão entre o lado oposto e o lado adjacente. No caso do vetor, isso se traduz na razão entre a componente $y$ e a componente $x$. Assim, temos:

$$
\tan(\theta) = \frac{y}{x}
$$

$$
\theta = \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)
$$

Substituindo os valores:

$$
\theta = \tan^{-1}\left(\frac{40,0}{-25,0}\right)
$$

$$
\theta = \tan^{-1}\left(-1,6\right)
$$

O valor de $\tan^{-1}(-1,6)$ nos dá o ângulo no quarto quadrante (pois $x$ é negativo e $y$ é positivo), mas geralmente estamos interessados no ângulo a partir do semieixo x positivo, medido no sentido anti-horário. Portanto, devemos adicionar $180^\circ$ ao resultado para obter o ângulo correto no contexto usual de medição de ângulos:

$$
\theta \approx \tan^{-1}(-1,6) + 180^\circ
$$

Calculando o valor de $\tan^{-1}(-1,6)$, temos aproximadamente:

$$
\theta \approx -58^\circ + 180^\circ = 122^\circ
$$

Portanto, o ângulo entre a orientação de $\vec{r}$ e o semieixo x positivo é aproximadamente $122^\circ$.

A componente x do vetor r⃗ é –25,0 m e a componente y é + 40...

A componente x do vetor r⃗ é –25,0 m e a componente y é + 40,0 m. Determine: (a) Qual é o módulo de r⃗ ?
(b) Qual é o ângulo entre a orientação de r⃗ e o semieixo x positivo?

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