A diagonal de um paralelepípedo reto retângulo mede 13 dm, e a diagonal da base 5 dm. Determina as três dimensões do paralelepípedo, sendo a soma das medidas de todas as arestas igual a 76 dm.

Question

Accepted Answer

Para resolver o problema, vamos considerar as dimensões do paralelepípedo como $a$, $b$ e $c$.

1. **Diagonal da base**: A diagonal da base é dada como 5 dm. Supondo que a base está no plano formado por $a$ e $b$, temos:
   $$
   \sqrt{a^2 + b^2} = 5
   $$
   $$
   a^2 + b^2 = 25
   $$

2. **Diagonal do paralelepípedo**: A diagonal total mede 13 dm. Assim, temos:
   $$
   \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = 13
   $$
   $$
   a^2 + b^2 + c^2 = 169
   $$

3. **Soma das arestas**: A soma das medidas de todas as arestas é 76 dm:
   $$
   4(a + b + c) = 76
   $$
   $$
   a + b + c = 19
   $$

Agora, resolvendo o sistema de equações:

- Da equação $a^2 + b^2 = 25$, substituímos na equação $a^2 + b^2 + c^2 = 169$:
  $$
  25 + c^2 = 169
  $$
  $$
  c^2 = 144 \implies c = 12
  $$

- Substituímos $c = 12$ na equação $a + b + c = 19$:
  $$
  a + b + 12 = 19
  $$
  $$
  a + b = 7
  $$

- Temos o sistema:
  $$
  a + b = 7
  $$
  $$
  a^2 + b^2 = 25
  $$

Podemos resolver usando as identidades:
$$
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = 49
$$
$$
a^2 + b^2 = 25
$$

Subtraindo:
$$
49 - 25 = 2ab
$$
$$
24 = 2ab \implies ab = 12
$$

As raízes da equação quadrática $x^2 - 7x + 12 = 0$ são os valores de $a$ e $b$.

Calculando as raízes:
$$
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
$$
$$
x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 48}}{2}
$$
$$
x = \frac{7 \pm 1}{2}
$$

Portanto, $x = 4$ ou $x = 3$.

Assim, as dimensões são $a = 4$, $b = 3$ e $c = 12$.

A diagonal de um paralelepípedo reto retângulo mede 13 dm, e...

A diagonal de um paralelepípedo reto retângulo mede 13 dm, e a diagonal da base 5 dm. Determina as três dimensões do paralelepípedo, sendo a soma das medidas de todas as arestas igual a 76 dm.

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