a diferença entre as medidas do comprimento c e da largura 1, de um retângulo, nessa ordem, é igual 3 metro, e a área desse retângulo é menor que 10m². então, a quantidade de valores inteiros de c, em metros, que satisfazem essas condições é:
S
Sr.Rikeツ
Feita pelo app
23/05/25

Question

a diferença entre as medidas do comprimento c e da largura 1, de um retângulo, nessa ordem, é igual 3 metro, e a área desse retângulo é menor que 10m². então, a quantidade de valores inteiros de c, em metros, que satisfazem essas condições é:

S

Sr.Rikeツ

Feita pelo app

23/05/25

Accepted Answer

Para resolver este problema, vamos seguir os seguintes passos: 1. **Definir as variáveis:** * Seja $ c $ o comprimento do retângulo. * Seja $ l $ a largura do retângulo. 2. **Formular as equações com base nas informações fornecidas:** * A diferença entre o comprimento e a largura é 3 metros: $$ c - l = 3 $$ * A área do retângulo é menor que 10 m²: $$ c \cdot l < 10 $$ 3. **Expressar $ l $ em termos de $ c $:** Da primeira equação, temos: $$ l = c - 3 $$ 4. **Substituir $ l $ na inequação da área:** $$ c \cdot (c - 3) < 10 $$ $$ c^2 - 3c < 10 $$ $$ c^2 - 3c - 10 < 0 $$ 5. **Resolver a inequação quadrática:** Primeiro, encontramos as raízes da equação quadrática $ c^2 - 3c - 10 = 0 $: $$ c = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(-10)}}{2(1)} $$ $$ c = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2} $$ $$ c = \frac{3 \pm \sqrt{49}}{2} $$ $$ c = \frac{3 \pm 7}{2} $$ As raízes são: $$ c_1 = \frac{3 + 7}{2} = \frac{10}{2} = 5 $$ $$ c_2 = \frac{3 - 7}{2} = \frac{-4}{2} = -2 $$ Portanto, a inequação $ c^2 - 3c - 10 < 0 $ é satisfeita para $ -2 < c < 5 $. 6. **Considerar as restrições físicas:** * O comprimento $ c $ deve ser positivo, então $ c > 0 $. * A largura $ l $ também deve ser positiva, então $ l = c - 3 > 0 $, o que implica $ c > 3 $. 7. **Combinar as restrições:** * Temos $ -2 < c < 5 $ da inequação quadrática. * Temos $ c > 0 $ porque o comprimento deve ser positivo. * Temos $ c > 3 $ porque a largura deve ser positiva. Combinando $ c > 3 $ e $ c < 5 $, obtemos $ 3 < c < 5 $. 8. **Encontrar os valores inteiros de $ c $ que satisfazem as condições:** Os valores inteiros de $ c $ que satisfazem $ 3 < c < 5 $ são apenas $ c = 4 $. 9. **Verificar a solução:** * Se $ c = 4 $, então $ l = c - 3 = 4 - 3 = 1 $. * A área é $ c \cdot l = 4 \cdot 1 = 4 $ m², que é menor que 10 m². Portanto, a quantidade de valores inteiros de $ c $ que satisfazem as condições é 1. **Resposta: 1**