A discussão dos sistemas lineares consiste em
analisar parâmetros dos coeficientes com relação
ao determinante da matriz que representa os
coeficientes das
equações e, através
desses
parâmetros, classificar os sistemas quanto às suas
soluções. Assim, observando a discussão do
sistema a seguir:
(6x+ky =9
2x-7y=1
Analise as sentenças:
I- O sistema é impossível, para todo k real
diferente de -21.
II- O sistema é possível e indeterminado, para
todo k real diferente de -63.
III- O sistema é possível e determinado, para todo
k real diferente de -21.
IV- O sistema é possível e indeterminado, para
todo k real diferente de -3.
Assinale a alternativa CORRETA:
A.(
) Somente a sentença III está correta.
B.(
) Somente a sentença IV está correta.
) Somente a sentença II está correta.
C. C
D.(
U Somente a sentença I esta correta

Question

Accepted Answer

Para classificar o sistema de equações lineares dado por

$$ \begin{cases} 6x + ky = 9 \ 2x - 7y = 1 \end{cases} $$

devemos analisar o determinante da matriz dos coeficientes das variáveis $x$ e $y$. A matriz dos coeficientes é

$$ A = \begin{pmatrix} 6 & k \ 2 & -7 \end{pmatrix} $$

O determinante de $A$ é dado por

$$ \text{det}(A) = (6)(-7) - (2)(k) = -42 - 2k $$

A classificação do sistema depende do valor desse determinante:

1. **Se $\text{det}(A) \neq 0$,** o sistema é possível e determinado (SPD), pois existe uma única solução.
2. **Se $\text{det}(A) = 0$,** o sistema pode ser possível e indeterminado (SPI), se houver infinitas soluções, ou impossível (SI), se não houver solução.

Vamos analisar as sentenças:

I- **O sistema é impossível, para todo $k$ real diferente de -21.** Isso não é verdadeiro, pois o sistema só é impossível se $\text{det}(A) = 0$ e as equações forem inconsistentes. O valor de $k$ que zera o determinante é obtido por $-42 - 2k = 0$, ou seja, $k = -21$. No entanto, isso não implica automaticamente que o sistema seja impossível; apenas indica que para $k = -21$, o sistema pode não ter uma única solução definida (podendo ser SPI ou SI dependendo das outras condições do sistema).

II- **O sistema é possível e indeterminado, para todo $k$ real diferente de -63.** Essa sentença está incorreta, pois a possibilidade de o sistema ser indeterminado depende exclusivamente do determinante sendo zero e das equações serem dependentes. O valor de $k = -63$ não tem relação direta com o cálculo do determinante para essa análise.

III- **O sistema é possível e determinado, para todo $k$ real diferente de -21.** Isso é verdadeiro, pois quando $k \neq -21$, o determinante $\text{det}(A) \neq 0$, resultando em um sistema possível e determinado (SPD).

IV- **O sistema é possível e indeterminado, para todo $k$ real diferente de -3.** Esse enunciado está incorreto, pois o valor de $k$ que afeta a determinação do sistema como possível e indeterminado não é relacionado a $k = -3$, mas sim à condição do determinante ser zero, o que ocorre para $k = -21$.

Portanto, a alternativa correta é:

A. ( ) Somente a sentença III está correta.

A discussão dos sistemas lineares consiste em analisar parâm...

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