A distribuição de Poisson é uma das distribuições de probabilidade mais importantes e amplamente utilizadas na teoria estatística e em diversas áreas da ciência e engenharia. Considerando X ~ Poisson (0,2), e sabendo que e^{-0,2^2} é 0,82, aproximadamente, indique a alternativa correta com relação ao seguinte cálculo: P(X=1) × (E(X)²) / P(X=2) × 4 A 0,1 B 0,2 C 0,3 D 0,4 E 0,5

Para resolver essa questão, precisamos calcular a razão entre as probabilidades de uma distribuição de Poisson com parâmetro $\lambda = 0,2$.

A fórmula da probabilidade para uma variável aleatória $X$ que segue uma distribuição de Poisson é:

$$P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \cdot \lambda^k}{k!}$$

1. Calcular $P(X=1)$:

$$P(X=1) = \frac{e^{-0,2} \cdot 0,2^1}{1!} = e^{-0,2} \cdot 0,2$$

1. Calcular $P(X=2)$:

$$P(X=2) = \frac{e^{-0,2} \cdot 0,2^2}{2!} = \frac{e^{-0,2} \cdot 0,04}{2} = e^{-0,2} \cdot 0,02$$

1. Calcular a razão dada na questão:

$$\frac{P(X=1) \times (E(X))^2}{P(X=2) \times 4}$$

Onde $E(X) = \lambda = 0,2$, então $(E(X))^2 = 0,04$.

Substituindo os valores:

$$\frac{(e^{-0,2} \cdot 0,2) \times 0,04}{(e^{-0,2} \cdot 0,02) \times 4} = \frac{0,008 \cdot e^{-0,2}}{0,08 \cdot e^{-0,2}} = \frac{0,008}{0,08} = 0,1$$

Resposta: A

Portanto, a alternativa correta é 0,1.