A duplicação do cubo, também conhecida como o problema de Delos, é um dos três famosos problemas de construção da geometria grega clássica que desafiaram matemáticos por séculos. O desafio é encontrar, utilizando apenas régua e compasso, um cubo cujo volume seja exatamente o dobro do volume de um cubo dado. Para um cubo de lado l, o volume é l³. Portanto, para duplicar o volume do cubo, é necessário encontrar um novo lado m tal que m³ = 2l³. Se considerarmos l = 1, a tarefa se resume a construir geometricamente um lado m que satisfaça m³ = 2. Este problema ilustra a complexidade e os limites das construções geométricas clássicas, levando eventualmente ao desenvolvimento de novas áreas da matemática, como a álgebra e a teoria dos números.
Com base no problema da duplicação do cubo e na construtibilidade dos números, considere as seguintes afirmativas:
I. A solução do problema requer a construção do número irracional √2.
II. O problema da duplicação do cubo foi resolvido na antiguidade apenas com uso da régua e do compasso.
III. Hoje sabemos que a duplicação do cubo não é possível apenas com uso de régua e compasso pois foi demonstrado algebraicamente que o número √2 não é construtível.
IV. Todo número construtível com régua e compasso é racional.
É correto o que se afirma em:
