A energia cinética para um foguete de $ 5000 \mathrm{~kg} $ entrar em órbita é de:
(A) $ 5,14 \times 10^{11} \mathrm{~J} $
(B) $ 3,14 \times 10^{11} \mathrm{~J} $
(C) $ 2,14 \times 10^{11 \mathrm{~J}} $
(D) $ 1,14 \times 10^{11} \mathrm{~J} $
(E) $ 6,14 \times 10^{11} \mathrm{~J} $

Question

Accepted Answer

Para calcular a energia cinética necessária para um foguete de $ 5000 \, \mathrm{kg} $ entrar em órbita, podemos usar a fórmula da energia cinética ($E_k$):

$$ E_k = \frac{1}{2} m v^2 $$

No entanto, para um objeto entrar em órbita ao redor da Terra, é mais relevante calcular a velocidade orbital necessária e, a partir disso, determinar a energia cinética. A velocidade orbital ($v$) pode ser calculada pela fórmula:

$$ v = \sqrt{\frac{G M}{r}} $$

onde:
- $G$ é a constante gravitacional universal, $6,674 \times 10^{-11} \, \mathrm{m^3 \, kg^{-1} \, s^{-2}}$,
- $M$ é a massa da Terra, aproximadamente $5,972 \times 10^{24} \, \mathrm{kg}$,
- $r$ é o raio da órbita, que é a soma do raio da Terra ($6,371 \times 10^6 \, \mathrm{m}$) mais a altura da órbita baixa da Terra (digamos aproximadamente $200 \, \mathrm{km} = 2 \times 10^5 \, \mathrm{m}$, para este exemplo, vamos considerar uma órbita baixa).

Portanto, o raio $r$ total seria $6,371 \times 10^6 \, \mathrm{m} + 2 \times 10^5 \, \mathrm{m} = 6,571 \times 10^6 \, \mathrm{m}$.

Vamos calcular a velocidade orbital:

$$ v = \sqrt{\frac{6,674 \times 10^{-11} \times 5,972 \times 10^{24}}{6,571 \times 10^6}} $$

Calculando $v$:

$$ v = \sqrt{\frac{3,986004 \times 10^{14}}{6,571 \times 10^6}} $$
$$ v = \sqrt{6,070 \times 10^7} $$
$$ v \approx 7,790 \times 10^3 \, \mathrm{m/s} $$

Agora, usando essa velocidade para calcular a energia cinética:

$$ E_k = \frac{1}{2} \times 5000 \times (7,790 \times 10^3)^2 $$
$$ E_k = \frac{1}{2} \times 5000 \times 6,06241 \times 10^7 $$
$$ E_k = 2500 \times 6,06241 \times 10^7 $$
$$ E_k = 1,5156025 \times 10^{11} \, \mathrm{J} $$

Portanto, a energia cinética necessária para um foguete de $ 5000 \, \mathrm{kg} $ entrar em órbita é aproximadamente $ 1,52 \times 10^{11} \, \mathrm{J} $, o que não corresponde exatamente a nenhuma das opções fornecidas, mas está mais próximo da opção:

(D) $ 1,14 \times 10^{11} \, \mathrm{J} $

Deve-se notar que a resposta calculada foi arredondada e depende da altura da órbita escolhida para o cálculo. A discrepância entre a resposta calculada e as opções sugere um erro de arredondamento ou uma suposição diferente na altura da órbita ou outro parâmetro.

A energia cinética para um foguete de

A energia cinética para um foguete de $5000 \mathrm{~kg}$ entrar em órbita é de: (A) $5,14 \times 10^{11} \mathrm{~J}$ (B) $3,14 \times 10^{11} \mathrm{~J}$ (C) $2,14 \times 10^{11 \mathrm{~J}}$ (D) $1,14 \times 10^{11} \mathrm{~J}$ (E) $6,14 \times 10^{11} \mathrm{~J}$

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