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A equação reduzida da circunferência de centro C(a, b) e rai...
A equação reduzida da circunferência de centro C(a, b) e raio r,é
(x - a)2 + (y – b)2 = r2
e a equação geral é
x² + y² – 2ax – 2by + a² + b² – r² = 0.
RXERCÍCIOS
QUESTÃO 1
Determine a equação da circunferência que possui centro em C(3, 6) e raio 4.
QUESTÃO 2
O centro de uma circunferência é determinado pelo ponto médio do segmento
PQ, sendo P(4, 6) e Q(2, 10). Considerando que o raio dessa circunferência é 7,
determine sua equação.
QUESTÃO 3
O ponto P(3, b) pertence à circunferência de centro no ponto C(0, 3) e raio 5.
Calcule o valor da coordenada b.
POSIÇÕES RELATIVIAS ENTRE UM PONTO E UMA CIRCUNFERÊNCIA
1º caso, o ponto pertence à circunferência;
2º caso, o ponto é externo à circunferência;
3º caso, o ponto é interno à circunferência
QUESTÃO 4
Considere a circunferência (x−4)²+(y+3)²=25. Determine a posição relativa de cada
ponto em relação a essa circunferência: A(2,4), B(1,−1)B e C(7,1).
POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE UMA RETA E UMA CIRCUNFERÊNCIA
QUESTÃO 5
Verifique o posicionamento da reta r, dada pela equação 2x + y – 1 = 0 em relação
à circunferência de equação x² + y² + 6x – 8y = 0.
QUESTÃO 6
Determine o valor de w sabendo que a reta de equação x – y + w = 0 é tangente à
circunferência de equação x² + y² = 9.
POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE DUAS CIRCUNFERÊNCIAS COPLANARES
Figura 1. As circunferências são concêntricas dc1c2 = 0;
Figura 2. As circunferências são tangentes internas dc1c2 = |r1 – r2| ;
figura 3. As circunferências são tangentes externas dc1c2 = r1 + r2 ;
figura 4. As circunferências são internas dc1c2 < |r1 – r2|| ;
figura 5. As circunferências são secantes | r1 – r2 | < dc1c2 < r1 + r2 ;
figura 6. As circunferências são externas dc1c2 > r1 + r2 ;
QUESTÃO 7
Dada as equações das circunferências λ1 : x² + y² – 4x – 8y – 5 = 0 e λ2 : x² + y² –
2x – 6y + 1 = 0, determine se elas possuem pontos em comum.
QUESTÃO 8
Temos que duas circunferências de equações λ1: x² + y² = 16 e λ2: x² + y² + 4y = 0
são tangentes, isto é, possuem um ponto em comum. Determine as coordenadas
desse ponto.
RESOLUÇÃO
Resolver o sistema de equações:
Temos pela 1ª equação que x² + y² = 16, então:
x² + y² + 4y = 0 → 16 + 4y = 0 → 4y = – 16 → y = –16/4 → y = –4
x² + y² = 16 → x² + (–4)² = 16 → x² + 16 = 16 → x² = 16 – 16 → x² = 0 → x = 0
O ponto de intersecção das circunferências é {0, – 4}.
QUESTÃO 9
Duas circunferências são tangentes externas e a distância entre seus centros
é igual a 32 cm. Sabendo que a diferença entre as medidas de seus raios é
igual a 12 cm, então o raio da maior circunferência é igual a
a) 25 cm. b) 22 cm. c) 20 cm. d) 18 cm. e) 15 cm.
QUESTÃO 10
Duas circunferências são secantes e a distância entre seus centros é igual a
30 cm. O raio da menor circunferência é igual a 10 cm. Quantos possíveis
valores inteiros o raio da maior circunferencia pode assumir?
a) 19. b) 20. c) 21. d) 25. e) 31.
A equação reduzida da circunferência de centro C(a, b) e raio r,é (x - a)2 + (y – b)2 = r2 e a equação geral é x² + y² – 2ax – 2by + a² + b² – r² = 0. RXERCÍCIOS QUESTÃO 1 Determine a equação da circunferência que possui centro em C(3, 6) e raio 4. QUESTÃO 2 O centro de uma circunferência é determinado pelo ponto médio do segmento PQ, sendo P(4, 6) e Q(2, 10). Considerando que o raio dessa circunferência é 7, determine sua equação. QUESTÃO 3 O ponto P(3, b) pertence à circunferência de centro no ponto C(0, 3) e raio 5. Calcule o valor da coordenada b. POSIÇÕES RELATIVIAS ENTRE UM PONTO E UMA CIRCUNFERÊNCIA 1º caso, o ponto pertence à circunferência; 2º caso, o ponto é externo à circunferência; 3º caso, o ponto é interno à circunferência QUESTÃO 4 Considere a circunferência (x−4)²+(y+3)²=25. Determine a posição relativa de cada ponto em relação a essa circunferência: A(2,4), B(1,−1)B e C(7,1). POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE UMA RETA E UMA CIRCUNFERÊNCIA QUESTÃO 5 Verifique o posicionamento da reta r, dada pela equação 2x + y – 1 = 0 em relação à circunferência de equação x² + y² + 6x – 8y = 0. QUESTÃO 6 Determine o valor de w sabendo que a reta de equação x – y + w = 0 é tangente à circunferência de equação x² + y² = 9. POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE DUAS CIRCUNFERÊNCIAS COPLANARES Figura 1. As circunferências são concêntricas dc1c2 = 0; Figura 2. As circunferências são tangentes internas dc1c2 = |r1 – r2| ; figura 3. As circunferências são tangentes externas dc1c2 = r1 + r2 ; figura 4. As circunferências são internas dc1c2 < |r1 – r2|| ; figura 5. As circunferências são secantes | r1 – r2 | < dc1c2 < r1 + r2 ; figura 6. As circunferências são externas dc1c2 > r1 + r2 ; QUESTÃO 7 Dada as equações das circunferências λ1 : x² + y² – 4x – 8y – 5 = 0 e λ2 : x² + y² – 2x – 6y + 1 = 0, determine se elas possuem pontos em comum. QUESTÃO 8 Temos que duas circunferências de equações λ1: x² + y² = 16 e λ2: x² + y² + 4y = 0 são tangentes, isto é, possuem um ponto em comum. Determine as coordenadas desse ponto. RESOLUÇÃO Resolver o sistema de equações: Temos pela 1ª equação que x² + y² = 16, então: x² + y² + 4y = 0 → 16 + 4y = 0 → 4y = – 16 → y = –16/4 → y = –4 x² + y² = 16 → x² + (–4)² = 16 → x² + 16 = 16 → x² = 16 – 16 → x² = 0 → x = 0 O ponto de intersecção das circunferências é {0, – 4}. QUESTÃO 9 Duas circunferências são tangentes externas e a distância entre seus centros é igual a 32 cm. Sabendo que a diferença entre as medidas de seus raios é igual a 12 cm, então o raio da maior circunferência é igual a a) 25 cm. b) 22 cm. c) 20 cm. d) 18 cm. e) 15 cm. QUESTÃO 10 Duas circunferências são secantes e a distância entre seus centros é igual a 30 cm. O raio da menor circunferência é igual a 10 cm. Quantos possíveis valores inteiros o raio da maior circunferencia pode assumir? a) 19. b) 20. c) 21. d) 25. e) 31.
