A figura abaixo e formada por quarto setores circulares de 45° e por uma coroa circular. As circunferências que limitam a coroa tem raios iguais a 4 cm e 7 cm determinar a área da região pintada

Question

A figura abaixo e formada por quarto setores circulares de 45° e por uma coroa circular. As circunferências que limitam a coroa tem raios iguais a 4 cm e 7 cm  determinar a área da região pintada

Accepted Answer

Para determinar a área da região pintada, precisamos calcular a área da coroa circular e subtrair a área dos quatro setores circulares.

1. **Área da coroa circular:**

A coroa circular é formada pela diferença entre as áreas de dois círculos concêntricos. A fórmula para a área de um círculo é:

$$ A = \pi r^2 $$

Então, a área da coroa circular é dada por:

$$ A_{\text{coroa}} = \pi (R^2 - r^2) $$

onde $ R = 7 $ cm e $ r = 4 $ cm.

$$ A_{\text{coroa}} = \pi (7^2 - 4^2) = \pi (49 - 16) = \pi \times 33 $$

2. **Área dos setores circulares:**

Cada setor circular tem um ângulo de 45°. A área de um setor circular é dada por:

$$ A_{\text{setor}} = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2 $$

onde $\theta = 45^\circ$.

Para os setores com raio $ r = 4 $ cm:

$$ A_{\text{setor\_4}} = \frac{45}{360} \times \pi \times 4^2 = \frac{1}{8} \times \pi \times 16 = 2\pi $$

Para os setores com raio $ R = 7 $ cm:

$$ A_{\text{setor\_7}} = \frac{45}{360} \times \pi \times 7^2 = \frac{1}{8} \times \pi \times 49 = \frac{49}{8}\pi $$

3. **Área total dos setores:**

Há quatro setores, dois de cada raio, então a área total dos setores é:

$$ A_{\text{setores}} = 2 \times 2\pi + 2 \times \frac{49}{8}\pi = 4\pi + \frac{98}{8}\pi = 4\pi + 12.25\pi = 16.25\pi $$

4. **Área da região pintada:**

Subtraímos a área total dos setores da área da coroa circular:

$$ A_{\text{pintada}} = A_{\text{coroa}} - A_{\text{setores}} = 33\pi - 16.25\pi = 16.75\pi $$

Portanto, a área da região pintada é $ 16.75\pi $ cm².

A figura abaixo e formada por quarto setores circulares de 4...

A figura abaixo e formada por quarto setores circulares de 45° e por uma coroa circular. As circunferências que limitam a coroa tem raios iguais a 4 cm e 7 cm determinar a área da região pintada

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