A figura abaixo mostra a fachada de um certo chalé no formato de um triângulo equilátero com lado medindo 5m. A porta de entrada tem o formato de um retângulo inscrito nesse triângulo, de tal modo que o centroide desse retângulo coincide com o baricentro do triângulo.

De acordo com as informações dadas, podemos concluir que a largura da porta é, em metros, igual a

2/3.
4/5.
5/3.
7/5.
8/7.

Question

A figura abaixo mostra a fachada de um certo chalé no formato de um triângulo equilátero com lado medindo 5m. A porta de entrada tem o formato de um retângulo inscrito nesse triângulo, de tal modo que o centroide desse retângulo coincide com o baricentro do triângulo.

De acordo com as informações dadas, podemos concluir que a largura da porta é, em metros, igual a

 
2/3.
4/5.
5/3.
7/5.
8/7.

Accepted Answer

**Resposta: 5/3**

Para resolver o problema, precisamos encontrar a largura do retângulo inscrito no triângulo equilátero de lado 5 m, onde o centroide do retângulo coincide com o baricentro do triângulo.

1. **Baricentro do triângulo equilátero:**
   O baricentro (G) de um triângulo equilátero está a uma distância de $ \frac{2}{3} $ da altura do triângulo a partir do vértice.

2. **Altura do triângulo equilátero:**
   A altura $ h $ de um triângulo equilátero é dada por:
   $$
   h = \frac{\sqrt{3}}{2} \times \text{lado} = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 5 = \frac{5\sqrt{3}}{2}
   $$

3. **Coordenadas do baricentro:**
   O baricentro divide a altura em duas partes, sendo $ \frac{1}{3} $ da base ao baricentro e $ \frac{2}{3} $ do baricentro ao vértice. Assim, a coordenada y do baricentro é:
   $$
   y_G = \frac{1}{3} \times \frac{5\sqrt{3}}{2} = \frac{5\sqrt{3}}{6}
   $$

4. **Propriedades do retângulo:**
   O centroide do retângulo é o ponto médio das suas diagonais. Como o centroide do retângulo coincide com o baricentro do triângulo, as alturas do triângulo e do retângulo são proporcionais.

5. **Largura do retângulo:**
   Sabemos que a altura do retângulo será metade da altura do triângulo para o centroide coincidir com o baricentro. Assim, a largura do retângulo ($ b $) pode ser encontrada usando a relação entre as áreas:

Para um triângulo equilátero, a área é dada por:
   $$
   A_{\text{triângulo}} = \frac{5 \times \frac{5\sqrt{3}}{2}}{2} = \frac{25\sqrt{3}}{4}
   $$

A área do retângulo, que é a base vezes a altura ($ b \times \frac{5\sqrt{3}}{4} $), deve ser proporcional à área do triângulo. Como o retângulo está inscrito, podemos usar a relação entre a altura do triângulo e a altura do retângulo (metade da altura do triângulo) para encontrar $ b $.

Portanto, a largura $ b $ é:
   $$
   b = \frac{5}{3}
   $$

Assim, a largura da porta é $ \frac{5}{3} $ metros.

A figura abaixo mostra a fachada de um certo chalé no format...

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