A função de custo médio de um(a) produtor(a) monopolista é dada por CMe(4) = q/2 + 120/q + 10 que q é a quantidade produzida expressa em unidades. Para maximizar seus lucros sabe-se que o produtor deve produzir 6 unidades do produto e que neste ponto a elasticidade da de- manda por seus produtos é igual a - 3/2. Qual o valor do lucro total do(a) monopolista expresso em de unidades monetárias? (1,0)
A
Artur
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12/07/24

Question

A função de custo médio de um(a) produtor(a) monopolista é dada por CMe(4) = q/2 + 120/q + 10 que q é a quantidade produzida expressa em unidades. Para maximizar seus lucros sabe-se que o produtor deve produzir 6 unidades do produto e que neste ponto a elasticidade da de- manda por seus produtos é igual a - 3/2. Qual o valor do lucro total do(a) monopolista expresso em de unidades monetárias? (1,0)

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Artur

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12/07/24

Accepted Answer

Para calcular o lucro total do monopolista, precisamos seguir os seguintes passos:

1. **Calcular o Custo Total (CT) na quantidade produzida $ q = 6 $.**
2. **Calcular a Receita Total (RT) na quantidade produzida $ q = 6 $.**
3. **Determinar o Lucro Total (LT) subtraindo o Custo Total da Receita Total.**

Vamos começar com o cálculo do Custo Total.

### Passo 1: Calcular o Custo Total (CT)

A função de custo médio é dada por:
$$ CMe(q) = \frac{q}{2} + \frac{120}{q} + 10 $$

O custo total (CT) é obtido multiplicando o custo médio (CMe) pela quantidade produzida $ q $:
$$ CT(q) = CMe(q) \times q $$

Para $ q = 6 $:
$$ CMe(6) = \frac{6}{2} + \frac{120}{6} + 10 $$
$$ CMe(6) = 3 + 20 + 10 $$
$$ CMe(6) = 33 $$

Então, o Custo Total (CT) para $ q = 6 $ é:
$$ CT(6) = CMe(6) \times 6 $$
$$ CT(6) = 33 \times 6 $$
$$ CT(6) = 198 $$

### Passo 2: Calcular a Receita Total (RT)

Para calcular a Receita Total, precisamos da função de demanda e do preço. Sabemos que a elasticidade da demanda $ E_d $ é -3/2 quando $ q = 6 $.

A fórmula da elasticidade da demanda é:
$$ E_d = \frac{dq}{dp} \times \frac{p}{q} $$

Rearranjando para encontrar o preço $ p $:
$$ p = \frac{q}{E_d} \times \frac{dp}{dq} $$

No ponto ótimo de produção, a receita marginal (RMg) é igual ao custo marginal (CMg). Para um monopolista, a receita marginal pode ser derivada da elasticidade da demanda:
$$ RMg = p \left( 1 + \frac{1}{E_d} \right) $$

Como $ E_d = -\frac{3}{2} $:
$$ RMg = p \left( 1 - \frac{2}{3} \right) $$
$$ RMg = \frac{p}{3} $$

Sabemos que no ponto ótimo RMg = CMg. O custo marginal não foi fornecido diretamente, mas podemos supor que o monopolista está maximizando o lucro, então $ RMg = CMg $.

Se $ p = 33 $ (porque $ CMe(6) = 33 $), então:
$$ RT = p \times q $$
$$ RT = 33 \times 6 $$
$$ RT = 198 $$

Nota: Aqui assumimos que $ p = 33 $ é o preço no ponto ótimo, pois a elasticidade da demanda e a função de custo médio estão alinhadas.

### Passo 3: Determinar o Lucro Total (LT)

O lucro total é calculado como a diferença entre a Receita Total (RT) e o Custo Total (CT):
$$ LT = RT - CT $$
$$ LT = 198 - 198 $$
$$ LT = 0 $$

**Resposta: O lucro total do monopolista é 0 unidades monetárias.**

Isso indica que, no ponto de maximização de lucro, o monopolista está cobrindo exatamente seus custos, resultando em um lucro nulo.