A função y = a + b cos x, com a e b reais, representada graficamente a seguir, tem imagem [-1; 5]. Qual é o valor da soma 5a + 2b?
F
Felipe
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01/04/25

Q: A função y = a + b cos x, com a e b reais, representada graficamente a seguir, tem imagem [-1; 5]. Qual é o valor da soma 5a + 2b?

Para resolver essa questão, vamos analisar a função $ y = a + b \cos x $. A imagem da função é dada como $[-1, 5]$. Isso significa que o valor mínimo da função é $-1$ e o valor máximo é $5$. Sabemos que o cosseno varia entre $-1$ e $1$. Portanto, podemos escrever: 1. Valor máximo: $ a + b \cdot 1 = a + b = 5 $ 2. Valor mínimo: $ a + b \cdot (-1) = a - b = -1 $ Agora, resolvendo o sistema de equações: \[ \begin{cases} a + b = 5 \\ a - b = -1 \end{cases} \] Somando as duas equações: \[ (a + b) + (a - b) = 5 - 1 \] \[ 2a = 4 \] \[ a = 2 \] Substituindo o valor de $a$ na primeira equação: \[ 2 + b = 5 \] \[ b = 3 \] Agora, calculamos $5a + 2b$: \[ 5a + 2b = 5(2) + 2(3) = 10 + 6 = 16 \] **Resposta: 6**

Question

A função y = a + b cos x, com a e b reais, representada graficamente a seguir, tem imagem [-1; 5]. Qual é o valor da soma 5a + 2b?

Accepted Answer

Para resolver essa questão, vamos analisar a função $ y = a + b \cos x $.

A imagem da função é dada como $[-1, 5]$. Isso significa que o valor mínimo da função é $-1$ e o valor máximo é $5$.

Sabemos que o cosseno varia entre $-1$ e $1$. Portanto, podemos escrever:

1. Valor máximo: $ a + b \cdot 1 = a + b = 5 $
2. Valor mínimo: $ a + b \cdot (-1) = a - b = -1 $

Agora, resolvendo o sistema de equações:

$$
\begin{cases} 
a + b = 5 \ 
a - b = -1 
\end{cases}
$$

Somando as duas equações:

$$ 
(a + b) + (a - b) = 5 - 1 
$$

$$ 
2a = 4 
$$

$$ 
a = 2 
$$

Substituindo o valor de $a$ na primeira equação:

$$ 
2 + b = 5 
$$

$$ 
b = 3 
$$

Agora, calculamos $5a + 2b$:

$$ 
5a + 2b = 5(2) + 2(3) = 10 + 6 = 16 
$$

**Resposta: 6**