A Geometria Analítica realiza uma análise acerca do estudo de funções e suas relações com o estudo de retas, figuras planas, polígonos e cônicas. Ao falarmos das retas, determine a equação reduzida da reta que passa pelo ponto médio do segmento de extremos A(1, 4) e B(6, 1) e que é paralela à reta r: y = 4x - 16.

Apresente todos os cálculos para justificar sua resposta.

Question

A Geometria Analítica realiza uma análise acerca do estudo de funções e suas relações com o estudo de retas, figuras planas, polígonos e cônicas. Ao falarmos das retas, determine a equação reduzida da reta que passa pelo ponto médio do segmento de extremos A(1, 4) e B(6, 1) e que é paralela à reta r: y = 4x - 16.

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Accepted Answer

Para encontrar a equação da reta que passa pelo ponto médio do segmento de extremos $ A(1, 4) $ e $ B(6, 1) $ e é paralela à reta $ r: y = 4x - 16 $, siga os passos abaixo:

1. **Calcular o ponto médio do segmento AB:**

O ponto médio $ M(x, y) $ é dado por:
   $$
   M\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)
   $$
   Substituindo os valores:
   $$
   M\left(\frac{1 + 6}{2}, \frac{4 + 1}{2}\right) = M\left(\frac{7}{2}, \frac{5}{2}\right)
   $$

2. **Determinar o coeficiente angular da nova reta:**

Como a nova reta é paralela à reta $ r: y = 4x - 16 $, ela terá o mesmo coeficiente angular. Portanto, $ m = 4 $.

3. **Encontrar a equação da reta:**

Usamos a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação:
   $$
   y - y_1 = m(x - x_1)
   $$
   Onde $ m = 4 $, $ x_1 = \frac{7}{2} $, e $ y_1 = \frac{5}{2} $.

Substituindo:
   $$
   y - \frac{5}{2} = 4\left(x - \frac{7}{2}\right)
   $$

Simplificando:
   $$
   y - \frac{5}{2} = 4x - 14
   $$
   $$
   y = 4x - 14 + \frac{5}{2}
   $$
   $$
   y = 4x - \frac{28}{2} + \frac{5}{2}
   $$
   $$
   y = 4x - \frac{23}{2}
   $$

Portanto, a equação reduzida da reta é:
$$
y = 4x - \frac{23}{2}
$$

A Geometria Analítica realiza uma análise acerca do estudo d...

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