A interseção dos conjuntos A = { z | z = (cis 120°) ^ n, n inteiro } e B = { w | w = (cis 45°) ^ k, k inteiro } possui quantos elementos?

Q: A interseção dos conjuntos A = { z | z = (cis 120°) ^ n, n inteiro } e B = { w | w = (cis 45°) ^ k, k inteiro } possui quantos elementos?

Para encontrar a interseção dos conjuntos $A$ e $B$, precisamos determinar quantos elementos são comuns a ambos. Temos: \[ A = \{ z | z = (\text{cis } 120^\circ)^n, \, n \text{ inteiro} \} \] \[ B = \{ w | w = (\text{cis } 45^\circ)^k, \, k \text{ inteiro} \} \] Os elementos de $A$ são as potências de $\text{cis } 120^\circ$, que são as raízes cúbicas da unidade. Assim, $A$ tem 3 elementos: $\text{cis } 0^\circ$, $\text{cis } 120^\circ$, e $\text{cis } 240^\circ$. Os elementos de $B$ são as potências de $\text{cis } 45^\circ$, que são as oitavas raízes da unidade. Assim, $B$ tem 8 elementos: $\text{cis } 0^\circ$, $\text{cis } 45^\circ$, $\text{cis } 90^\circ$, $\text{cis } 135^\circ$, $\text{cis } 180^\circ$, $\text{cis } 225^\circ$, $\text{cis } 270^\circ$, e $\text{cis } 315^\circ$. A interseção $A \cap B$ consiste nos elementos que são comuns a ambos os conjuntos. Os elementos comuns são: - $\text{cis } 0^\circ$ - $\text{cis } 240^\circ = \text{cis } 360^\circ - 120^\circ = \text{cis } 360^\circ - 120^\circ = \text{cis } 240^\circ$ (não está em $B$) - $\text{cis } 120^\circ$ (não está em $B$) Portanto, apenas o elemento $\text{cis } 0^\circ$ é comum. Assim, a interseção possui **1 elemento**.

Question

Accepted Answer

Para encontrar a interseção dos conjuntos $A$ e $B$, precisamos determinar quantos elementos são comuns a ambos.

Temos:
$$ A = \{ z | z = (\text{cis } 120^\circ)^n, \, n \text{ inteiro} \} $$
$$ B = \{ w | w = (\text{cis } 45^\circ)^k, \, k \text{ inteiro} \} $$

Os elementos de $A$ são as potências de $\text{cis } 120^\circ$, que são as raízes cúbicas da unidade. Assim, $A$ tem 3 elementos: $\text{cis } 0^\circ$, $\text{cis } 120^\circ$, e $\text{cis } 240^\circ$.

Os elementos de $B$ são as potências de $\text{cis } 45^\circ$, que são as oitavas raízes da unidade. Assim, $B$ tem 8 elementos: $\text{cis } 0^\circ$, $\text{cis } 45^\circ$, $\text{cis } 90^\circ$, $\text{cis } 135^\circ$, $\text{cis } 180^\circ$, $\text{cis } 225^\circ$, $\text{cis } 270^\circ$, e $\text{cis } 315^\circ$.

A interseção $A \cap B$ consiste nos elementos que são comuns a ambos os conjuntos. Os elementos comuns são:

- $\text{cis } 0^\circ$
- $\text{cis } 240^\circ = \text{cis } 360^\circ - 120^\circ = \text{cis } 360^\circ - 120^\circ = \text{cis } 240^\circ$ (não está em $B$)
- $\text{cis } 120^\circ$ (não está em $B$)

Portanto, apenas o elemento $\text{cis } 0^\circ$ é comum.

Assim, a interseção possui **1 elemento**.

A interseção dos conjuntos A = { z | z = (cis 120°) ^ n, n i...

A interseção dos conjuntos A = { z | z = (cis 120°) ^ n, n inteiro } e B = { w | w = (cis 45°) ^ k, k inteiro } possui quantos elementos?

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