A Lotofácil é, como o próprio nome diz, fácil de apostar e principalmente de ganhar. Você marca entre 15e, 20 números, dentre os 25 disponiveis no volante, e fatura prêmio se acertar 11, 12, 13, 14 ou 15 números. Pode ainda deixar que o sistema escolha os números para você por meio da Surpresinha, ou concorrer com a mesma aposta por 3, 6, 12, 18 ou 24 concursos consecutivos através da Teimosinha. Disponivel em: www.loterias.caixa.gov.br. Acesso em: 29 set. 2023, De acordo com a Caixa Econômica Federal, a probabilidade de ganhar na Lotofacil com uma aposta de 15 números é 1 em 3268760. Já com uma aposta de 20 números, a probabilidade de acertar 15 números é, aproximadamente:

Para calcular a probabilidade de ganhar na Lotofácil com uma aposta de 20 números, primeiro precisamos entender como o jogo funciona e como as probabilidades são calculadas. Na Lotofácil, você escolhe entre 15 e 20 números dos 25 disponíveis. A probabilidade de ganhar é determinada pelo número de combinações possíveis que resultam em uma vitória.

Quando você aposta em 15 números, a probabilidade de acertar todos os 15 é de 1 em 3.268.760, como informado. Isso se deve ao fato de haver $\binom{25}{15}$ maneiras de escolher 15 números dentre os 25 disponíveis, onde a notação $\binom{n}{k}$ representa o coeficiente binomial, que calcula o número de combinações possíveis de $n$ itens tomados $k$ a $k$.

A fórmula do coeficiente binomial é dada por:

$$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$

onde $n!$ (n fatorial) é o produto de todos os números inteiros positivos até $n$.

Para calcular a probabilidade de acertar 15 números fazendo uma aposta de 20 números, precisamos considerar duas coisas:

1. O número de maneiras de escolher corretamente os 15 números dos 20 escolhidos.
2. O número de maneiras de escolher os 5 números restantes que não serão sorteados, dos 5 números que não foram escolhidos na aposta de 20.

Primeiro, calculamos o número de combinações possíveis de acertar 15 números dos 20 escolhidos, o que é $\binom{20}{15}$.

Depois, calculamos o número de combinações possíveis para os 5 números restantes que não serão sorteados dos 5 não escolhidos, o que é $\binom{5}{5}$.

Finalmente, multiplicamos esses dois valores juntos e dividimos pelo total de combinações possíveis na Lotofácil, $\binom{25}{15}$, para obter a probabilidade desejada.

Vamos fazer os cálculos:

$$\text{Número de combinações para acertar 15 de 20} = \binom{20}{15} = \frac{20!}{15!(20-15)!} = \frac{20!}{15!5!}$$ $$= \frac{20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 15504$$ $$\text{Número de combinações para os 5 não escolhidos} = \binom{5}{5} = \frac{5!}{5!0!} = 1$$

Portanto, o número total de combinações favoráveis é $15504 \times 1 = 15504$.

Agora, calculamos o total de combinações possíveis na Lotofácil:

$$\text{Total de combinações} = \binom{25}{15} = \frac{25!}{15!10!}$$ $$= \frac{25 \times 24 \times 23 \times 22 \times 21 \times 20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16}{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}$$ $$= 3268760$$

Finalmente, a probabilidade de ganhar com uma aposta de 20 números é:

$$\text{Probabilidade} = \frac{15504}{3268760} \approx 0.0047$$

Ou seja, a probabilidade de ganhar na Lotofácil com uma aposta de 20 números é aproximadamente 1 em 211, o que é significativamente maior do que a probabilidade com uma aposta de 15 números.