A matriz de Vandermonde é amplamente utilizada na interpolação polinomial porque permite representar um sistema de equações lineares que determina os coeficientes de um polinômio interpolador. O determinante de uma matriz de Vandermonde de ordem n é dado por:

det ⁡ ( V )

∏ 0 ≤ i < j ≤ n ( x j − x i ) A matriz de Vandermonde recebe esse nome em homenagem ao matemático francês Alexandre-Théophile Vandermonde (1735–1796). Ele foi um dos primeiros a estudar esse tipo de estrutura matemática no contexto da teoria das equações algébricas e determinantes. Seu trabalho influenciou o estudo de determinantes e sistemas lineares, levando ao desenvolvimento da famosa matriz que hoje é amplamente utilizada em interpolação polinomial, criptografia e codificação de sinais.

Sabendo disso, uma empresa de tecnologia financeira está desenvolvendo um sistema para análise de tendências de mercado baseado em modelos polinomiais. Para prever o comportamento futuro das ações, os analistas utilizam interpolação polinomial, que pode ser representada por uma Matriz de Vandermonde. Os analistas conseguiram encontrar um conjunto de pontos de referência, que foram descritos a seguir:

x 0

1 , x 1

2 , x 2

3 e x 3

4 ,

Com base nisso, responda os questionamentos a seguir:

a) Determine a matriz de Vandermonde correspondente, explicando por que ela é importante para a interpolação polinomial b) Calcule o determinante da matriz de Vandermonde para os valores dados e interprete o resultado: se o determinante fosse zero, o que isso significaria para o modelo de previsão?