A parábola de equação y = -2x² + bx + c passa pelo ponto (1, 0) e seu vértice é o ponto de coordenadas (3, v). Determine v.

Question

Accepted Answer

Para resolver o problema, precisamos usar as informações dadas sobre a parábola:

1. A equação da parábola é $ y = -2x^2 + bx + c $.
2. A parábola passa pelo ponto $(1, 0)$.
3. O vértice da parábola é $(3, v)$.

### Passo 1: Encontrar $b$ e $c$

**Usando o ponto (1, 0):**

Substituindo na equação:

$$ 0 = -2(1)^2 + b(1) + c $$

$$ 0 = -2 + b + c $$

$$ b + c = 2 \quad \text{(Equação 1)} $$

**Usando o vértice (3, v):**

A coordenada $x$ do vértice de uma parábola $y = ax^2 + bx + c$ é dada por:

$$ x = -\frac{b}{2a} $$

Aqui, $a = -2$, então:

$$ 3 = -\frac{b}{2(-2)} $$

$$ 3 = \frac{b}{4} $$

$$ b = 12 $$

Substituindo $b = 12$ na Equação 1:

$$ 12 + c = 2 $$

$$ c = -10 $$

### Passo 2: Encontrar $v$

Agora que temos $b$ e $c$, podemos encontrar $v$:

Substitua $x = 3$ na equação da parábola para encontrar $v$:

$$ v = -2(3)^2 + 12(3) - 10 $$

$$ v = -18 + 36 - 10 $$

$$ v = 8 $$

**Resposta: d. 8**

A parábola de equação y = -2x² + bx + c passa pelo ponto (1,...