A placa de parada obrigatória (R-1) é um dos sinais regulamentados mais básicos do trânsito. Ela indica situações em que condutores devem parar seus veículos completamente antes de prosseguirem, e, devido ao seu formato octogonal regular único, é possível reconhecê-la à distância, mesmo não estando de frente a ela.
©imagepng.org
Uma maneira de confeccionar essa placa é extraindo dos cantos de uma chapa quadrada de metal quatro triângulos idênticos, como mostra o esquema.
OEdiçache Arte, 2024
Considere que se deseja extrair uma placa cuja área mede $ S \mathrm{~cm}^{2} $, de um quadrado cujo lado mede $ L $ centímetros

A equação que relaciona $ S $ em função de $ L $ é dada por

Question

A placa de parada obrigatória (R-1) é um dos sinais regulamentados mais básicos do trânsito. Ela indica situações em que condutores devem parar seus veículos completamente antes de prosseguirem, e, devido ao seu formato octogonal regular único, é possível reconhecê-la à distância, mesmo não estando de frente a ela.
©imagepng.org
Uma maneira de confeccionar essa placa é extraindo dos cantos de uma chapa quadrada de metal quatro triângulos idênticos, como mostra o esquema.
OEdiçache Arte, 2024
Considere que se deseja extrair uma placa cuja área mede $ S \mathrm{~cm}^{2} $, de um quadrado cujo lado mede $ L $ centímetros

A equação que relaciona $ S $ em função de $ L $ é dada por

Accepted Answer

Para encontrar a equação que relaciona a área $ S $ da placa octogonal em função do lado $ L $ do quadrado, podemos seguir os seguintes passos:

1. **Área do quadrado original:**
   A área do quadrado é dada por:
   $$
   A_{\text{quadrado}} = L^2
   $$

2. **Área dos triângulos removidos:**
   Cada triângulo removido é um triângulo isósceles retângulo. Se chamarmos a base e a altura de cada triângulo de $ x $, a área de um triângulo é:
   $$
   A_{\text{triângulo}} = \frac{1}{2} x^2
   $$
   Como são quatro triângulos idênticos, a área total dos triângulos removidos é:
   $$
   A_{\text{total\_triângulos}} = 4 \times \frac{1}{2} x^2 = 2x^2
   $$

3. **Área do octógono:**
   A área do octógono será a área do quadrado original menos a área total dos triângulos removidos:
   $$
   S = L^2 - 2x^2
   $$

4. **Relação entre $ x $ e $ L $:**
   Para determinar $ x $ em termos de $ L $, observe que a diagonal do quadrado menor formado dentro do octógono (onde os triângulos foram removidos) é igual ao lado do quadrado original $ L $. A diagonal de um quadrado de lado $ L - 2x $ é dada por:
   $$
   \sqrt{(L - 2x)^2 + (L - 2x)^2} = L
   $$
   Simplificando:
   $$
   \sqrt{2(L - 2x)^2} = L
   $$
   $$
   \sqrt{2}(L - 2x) = L
   $$
   $$
   L - 2x = \frac{L}{\sqrt{2}}
   $$
   $$
   L - 2x = \frac{L \sqrt{2}}{2}
   $$
   $$
   2x = L - \frac{L \sqrt{2}}{2}
   $$
   $$
   2x = L \left(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right)
   $$
   $$
   x = \frac{L}{2} \left(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right)
   $$

5. **Substituindo $ x $ na fórmula da área:**
   Agora substituímos $ x $ na fórmula da área do octógono:
   $$
   S = L^2 - 2 \left(\frac{L}{2} \left(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\right)^2
   $$
   $$
   S = L^2 - 2 \left(\frac{L^2}{4} \left(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2\right)
   $$
   $$
   S = L^2 - \frac{L^2}{2} \left(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2
   $$
   $$
   S = L^2 \left(1 - \frac{1}{2} \left(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2\right)
   $$

Portanto, a equação que relaciona a área $ S $ da placa octogonal em função do lado $ L $ do quadrado é:

$$
S = L^2 \left(1 - \frac{1}{2} \left(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2\right)
$$

A placa de parada obrigatória (R-1) é um dos sinais regulame...

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