A prefeitura de certa cidade vai construir, sobre um rio que corta essa cidade, uma ponte que deve ser reta e ligar dois pontos, A e B, localizados nas margens opostas do rio. Para medir esses pontos, um topógrafo observou que os ângulos BCA e CAB mediam, respectivamente, 30º e 105º. Com base nessas informações, é correto afirmar que a distância, em metros, do ponto B é de:

a) 200 v2 b) 180 v2 c) 150 v2 d) 100 v2 e) 50 v2

Question

a) 200 v2  b) 180 v2  c) 150 v2  d) 100 v2  e) 50 v2

Accepted Answer

Para resolver o problema, vamos usar a Lei dos Senos no triângulo $ \triangle ABC $.

Dado:
- $ \angle BCA = 30^\circ $
- $ \angle CAB = 105^\circ $
- $ AC = 200 \, \text{m} $

Primeiro, calculamos o terceiro ângulo do triângulo:
$$
\angle ABC = 180^\circ - 30^\circ - 105^\circ = 45^\circ
$$

Agora, aplicando a Lei dos Senos:
$$
\frac{AB}{\sin 30^\circ} = \frac{200}{\sin 45^\circ}
$$

Sabemos que:
- $ \sin 30^\circ = \frac{1}{2} $
- $ \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} $

Substituindo na equação:
$$
\frac{AB}{\frac{1}{2}} = \frac{200}{\frac{\sqrt{2}}{2}}
$$

Simplificando:
$$
AB = \frac{200 \times \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}
$$

$$
AB = \frac{200}{\sqrt{2}}
$$

Multiplicando numerador e denominador por $ \sqrt{2} $ para racionalizar:
$$
AB = \frac{200\sqrt{2}}{2} = 100\sqrt{2}
$$

Portanto, a distância do ponto $ A $ ao ponto $ B $ é **$ 100\sqrt{2} $** metros.

**Resposta: d) 100\sqrt{2}**

A prefeitura de certa cidade vai construir, sobre um rio que...