A que distância ao longo do eixo de um disco de plástico uniformemente carregado com raio R o módulo do campo elétrico é igual a metade do módulo do campo no centro do disco?

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Question

A que distância ao longo do eixo de um disco de plástico uniformemente carregado com raio R o módulo do campo elétrico é igual a metade do módulo do campo no centro do disco?

Accepted Answer

Para resolver esse problema, precisamos determinar a distância ao longo do eixo de um disco carregado onde o campo elétrico é igual à metade do campo no centro do disco.

### Campo Elétrico de um Disco Carregado

1. **Campo no Centro do Disco:**
   O campo elétrico $ E_0 $ no centro de um disco uniformemente carregado é dado por:
   $$
   E_0 = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}
   $$
   onde $ \sigma $ é a densidade superficial de carga e $ \varepsilon_0 $ é a permissividade do vácuo.

2. **Campo em um Ponto ao Longo do Eixo:**
   O campo elétrico $ E(x) $ a uma distância $ x $ ao longo do eixo do disco é:
   $$
   E(x) = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \left(1 - \frac{x}{\sqrt{x^2 + R^2}}\right)
   $$

3. **Condição para o Problema:**
   Queremos que $ E(x) = \frac{E_0}{2} $.

Substituindo as expressões:
   $$
   \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \left(1 - \frac{x}{\sqrt{x^2 + R^2}}\right) = \frac{1}{2} \times \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}
   $$

4. **Simplificação:**
   Cancelamos $ \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} $ dos dois lados:
   $$
   1 - \frac{x}{\sqrt{x^2 + R^2}} = \frac{1}{2}
   $$

5. **Resolvendo para $ x $:**
   $$
   \frac{x}{\sqrt{x^2 + R^2}} = \frac{1}{2}
   $$

Multiplicando ambos os lados por $ \sqrt{x^2 + R^2} $:
   $$
   x = \frac{1}{2} \sqrt{x^2 + R^2}
   $$

Elevando ambos os lados ao quadrado:
   $$
   x^2 = \frac{1}{4} (x^2 + R^2)
   $$

Expandindo e simplificando:
   $$
   4x^2 = x^2 + R^2
   $$

$$
   3x^2 = R^2
   $$

$$
   x^2 = \frac{R^2}{3}
   $$

$$
   x = \frac{R}{\sqrt{3}}
   $$

Portanto, a distância ao longo do eixo do disco onde o campo elétrico é igual à metade do campo no centro do disco é $ \frac{R}{\sqrt{3}} $.

A que distância ao longo do eixo de um disco de plástico uniformemente carregado com raio R o módulo do campo elétrico é igual a metade do módulo do campo no centro do disco?

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