A sequência infinita S=( 1, - 2/3, 1/2, - 1/3, 1/4, - 1/6, 1/8, - 1/12 ,...)

tem soma de valor

a) zero

b) 1/3

C) 1/2

d) 2/3

e) infinito

Question

A sequência infinita S=( 1, - 2/3, 1/2, - 1/3, 1/4, - 1/6, 1/8, - 1/12 ,...)

tem soma de valor

a) zero

b) 1/3

C) 1/2

d) 2/3

e) infinito

Accepted Answer

**Resposta: d)**

Para determinar a soma da sequência infinita $ S = \left( 1, -\frac{2}{3}, \frac{1}{2}, -\frac{1}{3}, \frac{1}{4}, -\frac{1}{6}, \frac{1}{8}, -\frac{1}{12}, \ldots \right) $, podemos analisar o padrão dos termos e verificar se ela converge.

Observamos que a sequência alterna sinais positivos e negativos. Podemos reescrever a sequência separando os termos positivos e negativos:

Termos positivos:
$$ 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \ldots $$

Termos negativos:
$$ -\frac{2}{3}, -\frac{1}{3}, -\frac{1}{6}, -\frac{1}{12}, \ldots $$

Os termos positivos formam uma série geométrica com razão $ \frac{1}{2} $:
$$ 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \ldots $$

A soma dessa série geométrica é dada por:
$$ S_+ = \frac{a}{1 - r} = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = 2 $$

Os termos negativos também podem ser reescritos como uma série geométrica:
$$ -\left(\frac{2}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \ldots \right) $$

Essa série geométrica possui primeiro termo $ a = \frac{2}{3} $ e razão $ r = \frac{1}{2} $:
$$ S_- = -\frac{\frac{2}{3}}{1 - \frac{1}{2}} = -\frac{\frac{2}{3}}{\frac{1}{2}} = -\frac{2}{3} \cdot 2 = -\frac{4}{3} $$

A soma total da sequência $ S $ é a soma das séries positivas e negativas:
$$ S = S_+ + S_- = 2 - \frac{4}{3} = \frac{6}{3} - \frac{4}{3} = \frac{2}{3} $$

Portanto, a soma da sequência infinita é $ \frac{2}{3} $.

**Resposta: d)**

A sequência infinita S=( 1, - 2/3, 1/2, - 1/3, 1/4, - 1/6, 1...

A sequência infinita S=( 1, - 2/3, 1/2, - 1/3, 1/4, - 1/6, 1/8, - 1/12 ,...)

tem soma de valor

a) zero

b) 1/3

C) 1/2

d) 2/3

e) infinito

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