A terra
retirada na escavação de uma piscina
semicircular de 6 m de raio e 1,25 m de profundidade foi amontoada, na forma de um cone circular reto, sobre uma superfície horizontal plana. Admita que a geratriz do cone faça um ângulo de 60° com a vertical e que a terra retirada tenha volume 20% maior do que o volume da piscina.
Nessas condições, a altura do cone, em metros, é de a) 2,0
b) 2,8
c) 3,0
d) 3,8 e) 4,0

Question

Accepted Answer

Para resolver o problema, precisamos calcular o volume da piscina semicircular e, em seguida, determinar o volume do cone formado pela terra retirada.

1. **Volume da Piscina Semicircular:**

A piscina tem a forma de um semicírculo com raio $ r = 6 $ m e profundidade $ h = 1,25 $ m. O volume da piscina semicircular é dado por metade do volume de um cilindro completo:

$$
V_{\text{piscina}} = \frac{1}{2} \times \pi \times r^2 \times h
$$

Substituindo os valores:

$$
V_{\text{piscina}} = \frac{1}{2} \times \pi \times (6)^2 \times 1,25 = \frac{1}{2} \times \pi \times 36 \times 1,25 = 22,5\pi \, \text{m}^3
$$

2. **Volume da Terra Retirada:**

O volume da terra retirada é 20% maior que o volume da piscina. Assim, o volume da terra é:

$$
V_{\text{terra}} = 1,2 \times V_{\text{piscina}} = 1,2 \times 22,5\pi = 27\pi \, \text{m}^3
$$

3. **Volume do Cone:**

O volume do cone é dado por:

$$
V_{\text{cone}} = \frac{1}{3} \times \pi \times R^2 \times H
$$

Onde $ R $ é o raio da base do cone e $ H $ é a altura do cone. Sabemos que a geratriz $ g $ faz um ângulo de 60° com a vertical, então podemos usar trigonometria para expressar $ R $ em termos de $ H $:

$$
\tan(60^\circ) = \frac{R}{H} \quad \Rightarrow \quad R = H \times \sqrt{3}
$$

Substituindo no volume do cone:

$$
V_{\text{cone}} = \frac{1}{3} \times \pi \times (H \sqrt{3})^2 \times H = \frac{1}{3} \times \pi \times 3H^2 \times H = \pi H^3
$$

Igualando o volume do cone ao volume da terra:

$$
\pi H^3 = 27\pi
$$

Dividindo ambos os lados por $\pi$:

$$
H^3 = 27
$$

Resolvendo para $ H $:

$$
H = \sqrt[3]{27} = 3
$$

**Resposta: c) 3,0**

A altura do cone é de 3,0 metros.

A terra retirada na escavação de uma piscina semicircular de...

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