A variável aleatória discreta X assume apenas os valores 0, 1, 2, 3, 4 e 5 A função densidade de probabilidade de X é dada por:
P(X = 0) = P(X = 1) = P(X = 2) = P(X = 3) = a
P(X = 4) = P(X = 5) = b
P(X ≥ 2) = 3P(X

Question

A variável aleatória discreta X assume apenas os valores 0, 1, 2, 3, 4 e 5 A função densidade de probabilidade de X é dada por:
P(X = 0) = P(X = 1) = P(X = 2) = P(X = 3) = a
P(X = 4) = P(X = 5) = b
P(X ≥ 2) = 3P(X < 2)
A variância de X é igual a :

Accepted Answer

Para resolver o problema, precisamos determinar os valores de $a$ e $b$ e depois calcular a variância da variável aleatória $X$.

A função densidade de probabilidade é dada por:

- $P(X = 0) = P(X = 1) = P(X = 2) = P(X = 3) = a$
- $P(X = 4) = P(X = 5) = b$

Sabemos que a soma das probabilidades deve ser igual a 1:

$$4a + 2b = 1$$

Também é dado que:

$$P(X \geq 2) = 3P(X < 2)$$

Calculando as probabilidades:

- $P(X \geq 2) = P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) = 2a + 2b$
- $P(X < 2) = P(X = 0) + P(X = 1) = 2a$

Substituindo na equação:

$$2a + 2b = 3(2a)$$
$$2a + 2b = 6a$$
$$2b = 4a$$
$$b = 2a$$

Substituindo $b = 2a$ na equação $4a + 2b = 1$:

$$4a + 2(2a) = 1$$
$$4a + 4a = 1$$
$$8a = 1$$
$$a = \frac{1}{8}$$

Então, $b = 2a = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.

Agora calculamos a variância. Primeiro, a média $\mu$:

$$\mu = 0 \cdot \frac{1}{8} + 1 \cdot \frac{1}{8} + 2 \cdot \frac{1}{8} + 3 \cdot \frac{1}{8} + 4 \cdot \frac{1}{4} + 5 \cdot \frac{1}{4}$$
$$\mu = 0 + \frac{1}{8} + \frac{2}{8} + \frac{3}{8} + \frac{16}{8} + \frac{20}{8}$$
$$\mu = \frac{42}{8} = \frac{21}{4}$$

Agora, a variância $\sigma^2$:

$$\sigma^2 = \sum (x_i - \mu)^2 P(x_i)$$

$$\sigma^2 = (0 - \frac{21}{4})^2 \cdot \frac{1}{8} + (1 - \frac{21}{4})^2 \cdot \frac{1}{8} + (2 - \frac{21}{4})^2 \cdot \frac{1}{8} + (3 - \frac{21}{4})^2 \cdot \frac{1}{8} + (4 - \frac{21}{4})^2 \cdot \frac{1}{4} + (5 - \frac{21}{4})^2 \cdot \frac{1}{4}$$

$$\sigma^2 = \left(\frac{441}{16}\right) \cdot \frac{1}{8} + \left(\frac{361}{16}\right) \cdot \frac{1}{8} + \left(\frac{289}{16}\right) \cdot \frac{1}{8} + \left(\frac{225}{16}\right) \cdot \frac{1}{8} + \left(\frac{121}{16}\right) \cdot \frac{1}{4} + \left(\frac{49}{16}\right) \cdot \frac{1}{4}$$

$$\sigma^2 = \frac{441 + 361 + 289 + 225}{128} + \frac{121 + 49}{16}$$

$$\sigma^2 = \frac{1316}{128} + \frac{170}{16}$$

$$\sigma^2 = \frac{1316}{128} + \frac{1360}{128}$$

$$\sigma^2 = \frac{2676}{128} = \frac{2676}{128}$$

$$\sigma^2 = 9$$

**Resposta: D**

A variância de $X$ é igual a 9.

A variável aleatória discreta X assume apenas os valores 0, 1, 2, 3, 4 e 5 A função densidade de probabilidade de X é dada por: P(X = 0) = P(X = 1) = P(X = 2) = P(X = 3) = a P(X = 4) = P(X = 5) = b P(X ≥ 2) = 3P(X < 2) A variância de X é igual a :

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