Achar o volume do primeiro octante, limitado pelos planos z=0 e z=x+y+2 e dentro do cilindro x^2+y^2=16

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Para encontrar o volume no primeiro octante, limitado pelos planos $ z = 0 $ e $ z = x+y+2 $, e dentro do cilindro $ x^2 + y^2 = 16 $, podemos usar a integração em coordenadas cilíndricas.

**Passo 1: Definir os limites de integração**

No primeiro octante, $ x \geq 0 $, $ y \geq 0 $, e $ z \geq 0 $. O cilindro $ x^2 + y^2 = 16 $ tem raio 4. Em coordenadas cilíndricas, temos:

- $ x = r\cos\theta $
- $ y = r\sin\theta $
- $ z = z $

Os limites para $ r $ são de 0 a 4, e para $ \theta $ de 0 a $\frac{\pi}{2}$.

**Passo 2: Expressar $ z $ em termos de $ r $ e $\theta$**

A equação do plano $ z = x + y + 2 $ em coordenadas cilíndricas se torna:
$$ z = r\cos\theta + r\sin\theta + 2 $$

**Passo 3: Configurar a integral tripla**

O volume $ V $ é dado por:
$$
V = \int_{\theta=0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{r=0}^{4} \int_{z=0}^{r\cos\theta + r\sin\theta + 2} r \, dz \, dr \, d\theta
$$

**Passo 4: Calcular a integral**

Primeiro, integramos em relação a $ z $:
$$
\int_{z=0}^{r\cos\theta + r\sin\theta + 2} r \, dz = r[z]_{0}^{r\cos\theta + r\sin\theta + 2} = r(r\cos\theta + r\sin\theta + 2)
$$

Substituindo na integral dupla restante:
$$
V = \int_{\theta=0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{r=0}^{4} (r^2\cos\theta + r^2\sin\theta + 2r) \, dr \, d\theta
$$

Separando em três integrais:
$$
V = \int_{\theta=0}^{\frac{\pi}{2}} \left( \int_{r=0}^{4} r^2\cos\theta \, dr + \int_{r=0}^{4} r^2\sin\theta \, dr + \int_{r=0}^{4} 2r \, dr \right) d\theta
$$

Calculando cada uma:

1. $\int_{r=0}^{4} r^2 \, dr = \left[\frac{r^3}{3}\right]_{0}^{4} = \frac{64}{3}$

2. $\int_{r=0}^{4} 2r \, dr = \left[r^2\right]_{0}^{4} = 16$

Substitua nas integrais de $\theta$:

$$
V = \int_{\theta=0}^{\frac{\pi}{2}} \left( \frac{64}{3}\cos\theta + \frac{64}{3}\sin\theta + 16 \right) d\theta
$$

Integrando em relação a $\theta$:

1. $\int_{\theta=0}^{\frac{\pi}{2}} \cos\theta \, d\theta = [\sin\theta]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = 1$

2. $\int_{\theta=0}^{\frac{\pi}{2}} \sin\theta \, d\theta = [-\cos\theta]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = 1$

3. $\int_{\theta=0}^{\frac{\pi}{2}} d\theta = \left[\theta\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{2}$

Portanto:
$$
V = \frac{64}{3}(1) + \frac{64}{3}(1) + 16\left(\frac{\pi}{2}\right)
$$

$$
V = \frac{128}{3} + 8\pi
$$

Assim, o volume é:
$$
V = \frac{128}{3} + 8\pi
$$

Achar o volume do primeiro octante, limitado pelos planos z=...

Achar o volume do primeiro octante, limitado pelos planos z=0 e z=x+y+2 e dentro do cilindro x^2+y^2=16

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