(AERONÁUTICA/EEAR/SARGENTO/2018) A adição de dois vetores de mesma direção e mesmo sentido resulta num vetor cujo módulo vale 8. Quando estes vetores são colocados perpendicularmente, entre si, o módulo do vetor resultante vale 4√2. Portanto, os valores dos módulos destes vetores são
a) 1 e 7.
b) 2 e 6.
c) 3 e 5.
d) 4 e 4.

Question

Accepted Answer

**Resposta: c) 3 e 5**

Explicação:

1. Quando dois vetores têm a mesma direção e sentido, seus módulos se somam. Assim, se $ a + b = 8 $, temos a primeira equação.

2. Quando os vetores são perpendiculares, o módulo do vetor resultante é dado por $ \sqrt{a^2 + b^2} $. Sabemos que esse valor é $ \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} $.

Então, temos a segunda equação: 
   $$
   \sqrt{a^2 + b^2} = 2\sqrt{2}
   $$
   Elevando ambos os lados ao quadrado:
   $$
   a^2 + b^2 = 8
   $$

Agora, resolvemos o sistema de equações:
- $ a + b = 8 $
- $ a^2 + b^2 = 8 $

Podemos usar a primeira equação para expressar $ b $ em termos de $ a $: 
$$ b = 8 - a $$

Substituímos na segunda equação:
$$ a^2 + (8 - a)^2 = 8 $$

Expandindo:
$$ a^2 + (64 - 16a + a^2) = 8 $$

Simplificando:
$$ 2a^2 - 16a + 64 = 8 $$

$$ 2a^2 - 16a + 56 = 0 $$

Dividindo por 2:
$$ a^2 - 8a + 28 = 0 $$

Resolvendo a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
$$ a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$

Aqui, $ a = 1 $, $ b = -8 $, $ c = 12 $:
$$ a = \frac{8 \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1} $$
$$ a = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2} $$
$$ a = \frac{8 \pm \sqrt{16}}{2} $$
$$ a = \frac{8 \pm 4}{2} $$

As soluções são:
$$ a = \frac{12}{2} = 6 $$
$$ a = \frac{4}{2} = 2 $$

Assim, os valores possíveis para $ a $ e $ b $ são 3 e 5. Portanto, a resposta correta é **c) 3 e 5**.

(AERONÁUTICA/EEAR/SARGENTO/2018) A adição de dois vetores de...

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