(Albert Einstein) Em uma equipe de 15 enfermeiras, apenas 2 têm mais de 20 anos de experiência profissional. Sorteando-se ao acaso 5 enfermeiras para compor um grupo de trabalho, a probabilidade de que nele esteja ao menos uma das duas enfermeiras com mais de 20 anos de experiência é de, aproximadamente,
a. 55
b. 57 .
c. 48
d. 46
e. 52

Question

Accepted Answer

Para resolver este problema, vamos usar o princípio complementar. Em vez de calcular diretamente a probabilidade de pelo menos uma das duas enfermeiras com mais de 20 anos de experiência ser selecionada, calculamos a probabilidade de nenhuma delas ser selecionada e subtraímos esse valor de 1.

Existem 15 enfermeiras no total, das quais 2 têm mais de 20 anos de experiência e 13 não têm. Se formos selecionar 5 enfermeiras ao acaso, o número total de maneiras possíveis de selecionar essas 5 enfermeiras é o número de combinações de 15 enfermeiras tomadas 5 a 5, que é dado por $C(15, 5)$. O número de maneiras de selecionar 5 enfermeiras que não incluem as duas com mais de 20 anos de experiência é o número de combinações de 13 enfermeiras (sem as 2 com mais de 20 anos de experiência) tomadas 5 a 5, que é dado por $C(13, 5)$.

A probabilidade de não selecionar nenhuma das duas enfermeiras com mais de 20 anos de experiência é, portanto, a razão entre o número de maneiras de selecionar 5 enfermeiras sem as duas com mais de 20 anos de experiência e o número total de maneiras de selecionar 5 enfermeiras:

$$ P(\text{não selecionar nenhuma das 2}) = \frac{C(13, 5)}{C(15, 5)} $$

Usamos a fórmula de combinação $C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ para calcular ambos os valores:

$$ C(13, 5) = \frac{13!}{5!(13-5)!} = \frac{13!}{5!8!} = \frac{13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 1287 $$

$$ C(15, 5) = \frac{15!}{5!(15-5)!} = \frac{15!}{5!10!} = \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 3003 $$

Substituindo os valores encontrados:

$$ P(\text{não selecionar nenhuma das 2}) = \frac{1287}{3003} $$

Agora, para encontrar a probabilidade de selecionar pelo menos uma das duas enfermeiras com mais de 20 anos de experiência, subtraímos a probabilidade de não selecionar nenhuma delas de 1:

$$ P(\text{pelo menos 1}) = 1 - P(\text{não selecionar nenhuma das 2}) = 1 - \frac{1287}{3003} $$

Calculando isso, obtemos:

$$ P(\text{pelo menos 1}) = 1 - \frac{1287}{3003} \approx 1 - 0,4286 \approx 0,5714 $$

Portanto, a probabilidade de que pelo menos uma das duas enfermeiras com mais de 20 anos de experiência esteja no grupo de trabalho é de aproximadamente 57,14%. Isso corresponde à opção:

b. 57

(Albert Einstein) Em uma equipe de 15 enfermeiras, apenas 2 ...

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