Ana está reorganizando sua biblioteca. Dentre 12 livros diferentes que possui, decide que irá manter 7 e doar os outros 5. De quantas maneiras diferentes Ana pode escolher os 7 livros que irá doar?

A) Mais de 900.

B) Mais de 800 e menos de 900.

C) Mais de 700 e menos de 800.

D) Mais de 600 e menos de 700.

E) Menos de 600.

Question

Ana está reorganizando sua biblioteca. Dentre 12 livros diferentes que possui, decide que irá manter 7 e doar os outros 5. De quantas maneiras diferentes Ana pode escolher os 7 livros que irá doar?

A) Mais de 900.

B) Mais de 800 e menos de 900.

C) Mais de 700 e menos de 800.

D) Mais de 600 e menos de 700.

E) Menos de 600.

Accepted Answer

Para resolver este problema, precisamos calcular de quantas maneiras diferentes Ana pode escolher 7 livros para manter, o que é equivalente a escolher quais 5 livros ela irá doar. Vamos utilizar o conceito de combinações, já que a ordem dos livros não importa.

A fórmula para combinações é dada por:

$$
C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}
$$

onde $ n $ é o número total de itens para escolher e $ k $ é o número de itens a serem escolhidos.

No caso de Ana, ela tem 12 livros e precisa escolher 5 para doar (ou 7 para manter, mas isso é complementar). Assim, calculamos $ C(12, 5) $:

$$
C(12, 5) = \frac{12!}{5!(12-5)!} = \frac{12!}{5! \cdot 7!}
$$

Calculando os fatoriais:

$$
12! = 12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7!
$$
$$
5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120
$$

Substituindo na fórmula:

$$
C(12, 5) = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7!}{5! \times 7!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8}{120}
$$

Calculando o numerador:

$$
12 \times 11 = 132
$$
$$
132 \times 10 = 1320
$$
$$
1320 \times 9 = 11880
$$
$$
11880 \times 8 = 95040
$$

Dividindo pelo denominador:

$$
\frac{95040}{120} = 792
$$

Portanto, há 792 maneiras diferentes de escolher os 5 livros que Ana irá doar.

**Resposta: C**

É mais de 700 e menos de 800 maneiras.

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