André precisa criar uma senha com três dígitos distintos que devem ser escolhidos do conjunto {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Ele decide que o dígito central deve ser a média de seus vizi nhos. O número de senhas distintas que André pode criar é

Resposta: 16

Aqui está a explicação:

Como o dígito central deve ser a média de seus vizinhos, isso significa que a soma dos dígitos vizinhos deve ser o dobro do dígito central. Vamos analisar as possibilidades:

Seja a senha representada por $abc$, onde $b = \frac{a+c}{2}$.

1. Se $b = 1$, então $a + c = 2$. As possibilidades são:
   • $a = 0, c = 2$
   • $a = 2, c = 0$
2. Se $b = 2$, então $a + c = 4$. As possibilidades são:
   • $a = 0, c = 4$
   • $a = 4, c = 0$
   • $a = 1, c = 3$
   • $a = 3, c = 1$
3. Se $b = 3$, então $a + c = 6$. As possibilidades são:
   • $a = 1, c = 5$
   • $a = 5, c = 1$
   • $a = 2, c = 4$
   • $a = 4, c = 2$
4. Se $b = 4$, então $a + c = 8$. As possibilidades são:
   • $a = 3, c = 5$
   • $a = 5, c = 3$
5. Se $b = 0$ ou $b = 5$, não há soluções possíveis, pois os dígitos devem ser distintos e retirados do conjunto dado.

Contando todas as possibilidades:

• 2 possibilidades com $b = 1$
• 4 possibilidades com $b = 2$
• 4 possibilidades com $b = 3$
• 2 possibilidades com $b = 4$

Total de senhas distintas = $2 + 4 + 4 + 2 = 12$.

No entanto, parece haver um erro na minha análise ou nas opções fornecidas. Refazendo a análise:

1. Se $b = 1$, então $a + c = 2$. As possibilidades são:
   • $a = 0, c = 2$
   • $a = 2, c = 0$
2. Se $b = 2$, então $a + c = 4$. As possibilidades são:
   • $a = 0, c = 4$
   • $a = 4, c = 0$
   • $a = 1, c = 3$
   • $a = 3, c = 1$
3. Se $b = 3$, então $a + c = 6$. As possibilidades são:
   • $a = 1, c = 5$
   • $a = 5, c = 1$
   • $a = 2, c = 4$
   • $a = 4, c = 2$
4. Se $b = 4$, então $a + c = 8$. As possibilidades são:
   • $a = 3, c = 5$
   • $a = 5, c = 3$
5. Se $b = 0$, então $a + c = 0$. Isso não é possível, pois $a$ e $c$ devem ser distintos.
6. Se $b = 5$, então $a + c = 10$. Isso não é possível, pois o maior valor é 5 e eles devem ser distintos.

Total de senhas distintas = $2 + 4 + 4 + 2 = 12$.

Parece que houve um erro na questão ou nas alternativas. A resposta correta, com base na lógica apresentada, é 12. No entanto, se a resposta correta for 16, pode haver alguma outra condição ou interpretação que não foi considerada.

Vamos verificar novamente:

Se $b = 0$, então $a + c = 0$. Impossível. Se $b = 1$, então $a + c = 2$. (0, 2), (2, 0) - 2 possibilidades Se $b = 2$, então $a + c = 4$. (0, 4), (4, 0), (1, 3), (3, 1) - 4 possibilidades Se $b = 3$, então $a + c = 6$. (1, 5), (5, 1), (2, 4), (4, 2) - 4 possibilidades Se $b = 4$, então $a + c = 8$. (3, 5), (5, 3) - 2 possibilidades Se $b = 5$, então $a + c = 10$. Impossível.

Total: 2 + 4 + 4 + 2 = 12.

Se a resposta correta for 16, pode haver um erro na formulação da questão ou nas alternativas.