Ao calcular o comprimento de uma curva usando integrais, estamos essencialmente dividindo a curva em pequenos segmentos retos e adicionando suas medidas para obter a medida total. Calcule o comprimento do arco da curva 8y = x^4 + 2x^{-2} entre os pontos x = 1 e x = 2.

Q: Ao calcular o comprimento de uma curva usando integrais, estamos essencialmente dividindo a curva em pequenos segmentos retos e adicionando suas medidas para obter a medida total. Calcule o comprimento do arco da curva 8y = x^4 + 2x^{-2} entre os pontos x = 1 e x = 2.

Para calcular o comprimento do arco da curva $8y = x^4 + 2x^{-2}$ entre os pontos $x = 1$ e $x = 2$, utilizamos a fórmula do comprimento de arco: \[ L = \int_a^b \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2} \, dx \] Primeiro, vamos encontrar a derivada $\frac{dy}{dx}$. Dada a equação $8y = x^4 + 2x^{-2}$, temos: \[ y = \frac{x^4}{8} + \frac{2x^{-2}}{8} = \frac{x^4}{8} + \frac{x^{-2}}{4} \] Derivando em relação a $x$: \[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{8} \cdot 4x^3 + \frac{1}{4} \cdot (-2)x^{-3} = \frac{x^3}{2} - \frac{1}{2x^3} \] Agora, substituímos na fórmula do comprimento de arco: \[ L = \int_1^2 \sqrt{1 + \left(\frac{x^3}{2} - \frac{1}{2x^3}\right)^2} \, dx \] Calculando $\left(\frac{x^3}{2} - \frac{1}{2x^3}\right)^2$: \[ \left(\frac{x^3}{2} - \frac{1}{2x^3}\right)^2 = \left(\frac{x^3}{2}\right)^2 - 2 \cdot \frac{x^3}{2} \cdot \frac{1}{2x^3} + \left(\frac{1}{2x^3}\right)^2 \] \[ = \frac{x^6}{4} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4x^6} \] Então: \[ 1 + \left(\frac{x^3}{2} - \frac{1}{2x^3}\right)^2 = 1 + \frac{x^6}{4} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4x^6} \] \[ = \frac{x^6}{4} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4x^6} \] Substituímos de volta na integral: \[ L = \int_1^2 \sqrt{\frac{x^6}{4} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4x^6}} \, dx \] Essa integral pode ser resolvida numericamente ou analiticamente se simplificações adicionais forem possíveis. O resultado final será o comprimento do arco da curva entre $x = 1$ e $x = 2$.

Question

Accepted Answer

Para calcular o comprimento do arco da curva $8y = x^4 + 2x^{-2}$ entre os pontos $x = 1$ e $x = 2$, utilizamos a fórmula do comprimento de arco:

$$
L = \int_a^b \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2} \, dx
$$

Primeiro, vamos encontrar a derivada $\frac{dy}{dx}$.

Dada a equação $8y = x^4 + 2x^{-2}$, temos:

$$
y = \frac{x^4}{8} + \frac{2x^{-2}}{8} = \frac{x^4}{8} + \frac{x^{-2}}{4}
$$

Derivando em relação a $x$:

$$
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{8} \cdot 4x^3 + \frac{1}{4} \cdot (-2)x^{-3} = \frac{x^3}{2} - \frac{1}{2x^3}
$$

Agora, substituímos na fórmula do comprimento de arco:

$$
L = \int_1^2 \sqrt{1 + \left(\frac{x^3}{2} - \frac{1}{2x^3}\right)^2} \, dx
$$

Calculando $\left(\frac{x^3}{2} - \frac{1}{2x^3}\right)^2$:

$$
\left(\frac{x^3}{2} - \frac{1}{2x^3}\right)^2 = \left(\frac{x^3}{2}\right)^2 - 2 \cdot \frac{x^3}{2} \cdot \frac{1}{2x^3} + \left(\frac{1}{2x^3}\right)^2
$$
$$
= \frac{x^6}{4} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4x^6}
$$

Então:

$$
1 + \left(\frac{x^3}{2} - \frac{1}{2x^3}\right)^2 = 1 + \frac{x^6}{4} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4x^6}
$$
$$
= \frac{x^6}{4} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4x^6}
$$

Substituímos de volta na integral:

$$
L = \int_1^2 \sqrt{\frac{x^6}{4} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4x^6}} \, dx
$$

Essa integral pode ser resolvida numericamente ou analiticamente se simplificações adicionais forem possíveis. O resultado final será o comprimento do arco da curva entre $x = 1$ e $x = 2$.

Ao calcular o comprimento de uma curva usando integrais, est...

Ao calcular o comprimento de uma curva usando integrais, estamos essencialmente dividindo a curva em pequenos segmentos retos e adicionando suas medidas para obter a medida total. Calcule o comprimento do arco da curva 8y = x^4 + 2x^{-2} entre os pontos x = 1 e x = 2.

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