Ao escalar uma trilha de montanha, um alpinista percorre 256m na primeira hora, 128m
na segunda hora,64m na terceira hora e assim sucessivamente. Determine o tempo (em
horas) necessário para completar um percurso de 506m.

Question

Ao escalar uma trilha de montanha, um alpinista percorre 256m na primeira hora, 128m
na segunda hora,64m na terceira hora e assim sucessivamente. Determine o tempo (em 
horas) necessário para completar um percurso de 506m.

Accepted Answer

Para resolver este problema, observamos que a distância percorrida pelo alpinista a cada hora forma uma progressão geométrica (PG) decrescente. A sequência das distâncias é: 256m, 128m, 64m, ...

A fórmula do termo geral de uma PG é:

$$ a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)} $$

onde $ a_1 = 256 $ e a razão $ r = \frac{a_2}{a_1} = \frac{128}{256} = \frac{1}{2} $.

Queremos encontrar o menor valor de $ n $ tal que a soma dos $ n $ primeiros termos da PG seja maior ou igual a 506m. A fórmula para a soma dos $ n $ primeiros termos de uma PG é:

$$ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $$

Substituindo os valores conhecidos:

$$ S_n = 256 \cdot \frac{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n}{1 - \frac{1}{2}} $$
$$ S_n = 256 \cdot \frac{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n}{\frac{1}{2}} $$
$$ S_n = 256 \cdot 2 \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n\right) $$
$$ S_n = 512 \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n\right) $$

Precisamos que $ S_n \geq 506 $:

$$ 512 \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n\right) \geq 506 $$
$$ 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n \geq \frac{506}{512} $$
$$ 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^n \geq \frac{253}{256} $$
$$ \left(\frac{1}{2}\right)^n \leq \frac{3}{256} $$

Para resolver esta desigualdade, podemos aplicar logaritmos:

$$ n \cdot \log\left(\frac{1}{2}\right) \leq \log\left(\frac{3}{256}\right) $$
$$ n \cdot (-\log(2)) \leq \log(3) - \log(256) $$
$$ n \cdot \log(2) \geq \log(256) - \log(3) $$
$$ n \geq \frac{\log(256) - \log(3)}{\log(2)} $$

Sabemos que $ 256 = 2^8 $, então $ \log(256) = 8 \log(2) $:

$$ n \geq \frac{8 \log(2) - \log(3)}{\log(2)} $$
$$ n \geq 8 - \frac{\log(3)}{\log(2)} $$

Usando valores aproximados de logaritmos ($\log(2) \approx 0.3010$ e $\log(3) \approx 0.4771$):

$$ n \geq 8 - \frac{0.4771}{0.3010} $$
$$ n \geq 8 - 1.585 $$
$$ n \geq 6.415 $$

Como $ n $ deve ser um número inteiro, arredondamos para cima:

$$ n \geq 7 $$

Portanto, o tempo necessário para completar um percurso de 506m é **7 horas**.

Ao escalar uma trilha de montanha, um alpinista percorre 256...

Ao escalar uma trilha de montanha, um alpinista percorre 256m na primeira hora, 128m na segunda hora,64m na terceira hora e assim sucessivamente. Determine o tempo (em horas) necessário para completar um percurso de 506m.

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