Ao saltar a partir de uma posição agachada, uma pessoa normalmente pode atingir uma altura máxima de 60 cm. Durante o salto, o corpo da pessoa dos joelhos para cima normalmente se levanta a uma distância de 50 cm. Para simplificar os cálculos e ainda obter um resultado razoável, considere que o corpo inteiro sobe essa distância durante o salto. (a) Com que velocidade inicial a pessoa sai do solo para atingir uma altura de 60 cm? (b) Desenhe um diagrama do corpo livre da pessoa durante o salto. (c) Em termos do peso p desse saltador, que força o solo exerce sobre ele ou ela durante o salto?
B
Bruno
20/01/25

Question

Ao saltar a partir de uma posição agachada, uma pessoa normalmente pode atingir uma altura máxima de 60 cm. Durante o salto, o corpo da pessoa dos joelhos para cima normalmente se levanta a uma distância de 50 cm. Para simplificar os cálculos e ainda obter um resultado razoável, considere que o corpo inteiro sobe essa distância durante o salto. (a) Com que velocidade inicial a pessoa sai do solo para atingir uma altura de 60 cm? (b) Desenhe um diagrama do corpo livre da pessoa durante o salto. (c) Em termos do peso p desse saltador, que força o solo exerce sobre ele ou ela durante o salto?

B

Bruno

20/01/25

Accepted Answer

Para resolver este problema, vamos considerar as etapas separadamente.

### (a) Velocidade inicial necessária para atingir uma altura de 60 cm

Para encontrar a velocidade inicial ($v_0$) necessária para atingir uma altura máxima ($h$) de 60 cm, podemos usar a equação da cinemática para movimento vertical sob a influência da gravidade:

$$ v^2 = v_0^2 - 2gh $$

Onde:
- $v$ é a velocidade final (0 m/s no ponto mais alto),
- $v_0$ é a velocidade inicial,
- $g$ é a aceleração devido à gravidade (aproximadamente $9,81 \, \text{m/s}^2$),
- $h$ é a altura máxima (0,60 m).

Substituindo os valores conhecidos na equação:

$$ 0 = v_0^2 - 2 \times 9,81 \times 0,60 $$

Resolvendo para $v_0$:

$$ v_0^2 = 2 \times 9,81 \times 0,60 $$

$$ v_0^2 = 11,772 $$

$$ v_0 = \sqrt{11,772} $$

$$ v_0 \approx 3,43 \, \text{m/s} $$

### (b) Diagrama do corpo livre

Durante o salto, duas forças principais atuam sobre a pessoa:

1. **Peso ($p$)**: A força gravitacional que puxa a pessoa para baixo.
2. **Força normal ($N$)**: A força exercida pelo solo sobre a pessoa, que atua para cima e é responsável por impulsionar a pessoa no ar.

O diagrama do corpo livre mostraria essas duas forças, com o peso apontando para baixo e a força normal apontando para cima.

### (c) Força exercida pelo solo durante o salto

Para determinar a força que o solo exerce sobre a pessoa durante o salto, precisamos considerar a segunda lei de Newton:

$$ F_{\text{net}} = ma $$

Onde:
- $F_{\text{net}}$ é a força líquida atuando sobre a pessoa,
- $m$ é a massa da pessoa,
- $a$ é a aceleração.

A força líquida é a diferença entre a força normal e o peso:

$$ F_{\text{net}} = N - mg $$

Durante o impulso, a aceleração necessária para alcançar a velocidade inicial $v_0$ pode ser calculada usando a fórmula:

$$ v_0 = at $$

No entanto, como não temos o tempo ($t$), podemos usar a relação entre força, massa e aceleração:

$$ N = mg + ma $$

Sabemos que a aceleração ($a$) pode ser encontrada a partir da relação:

$$ v_0 = \sqrt{2ah} $$

$$ a = \frac{v_0^2}{2h} $$

Substituindo o valor de $v_0$ que encontramos:

$$ a = \frac{(3,43)^2}{2 \times 0,50} $$

$$ a = \frac{11,772}{1} $$

$$ a \approx 11,772 \, \text{m/s}^2 $$

Portanto, a força normal $N$ é:

$$ N = mg + m \times 11,772 $$

$$ N = m(g + 11,772) $$

Em termos do peso $p = mg$, a força é:

$$ N = p \left(1 + \frac{11,772}{g}\right) $$

$$ N \approx p \left(1 + \frac{11,772}{9,81}\right) $$

$$ N \approx p \left(1 + 1,20\right) $$

$$ N \approx 2,20p $$

Assim, a força que o solo exerce sobre a pessoa é aproximadamente $2,20$ vezes o peso da pessoa.

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