Aquecedores solares usados em residências têm o objetivo de elevar a temperatura da água até 70°C. No entanto,
a temperatura ideal da água para um banho é de 30°C. Por isso, deve-se misturar a água aquecida com a água à
temperatura ambiente de um outro reservatório, que se encontra a 20°C.
Qual a razão entre a massa de água quente e a massa de água fria na mistura para um banho à temperatura ideal?

Question

Aquecedores solares usados em residências têm o objetivo de elevar a temperatura da água até 70°C. No entanto,
a temperatura ideal da água para um banho é de 30°C. Por isso, deve-se misturar a água aquecida com a água à
temperatura ambiente de um outro reservatório, que se encontra a 20°C.
Qual a razão entre a massa de água quente e a massa de água fria na mistura para um banho à temperatura ideal?

Accepted Answer

Para resolver esse problema, podemos usar o princípio da conservação de energia, que nos diz que o calor perdido pela água quente é igual ao calor ganho pela água fria.

Vamos definir:
- $ m_q $ como a massa de água quente.
- $ m_f $ como a massa de água fria.
- $ c $ como o calor específico da água, que é constante e pode ser cancelado na equação final, pois será o mesmo para ambas as massas de água.

As temperaturas são:
- $ T_q = 70°C $ (temperatura da água quente)
- $ T_f = 20°C $ (temperatura da água fria)
- $ T_i = 30°C $ (temperatura ideal do banho)

A equação de equilíbrio térmico é dada por:

$$
m_q \cdot c \cdot (T_q - T_i) = m_f \cdot c \cdot (T_i - T_f)
$$

Podemos cancelar $ c $ dos dois lados da equação, resultando em:

$$
m_q \cdot (70 - 30) = m_f \cdot (30 - 20)
$$

Simplificando as diferenças de temperatura:

$$
m_q \cdot 40 = m_f \cdot 10
$$

Dividindo ambos os lados por 10 para simplificar:

$$
4 \cdot m_q = m_f
$$

Assim, a razão entre a massa de água quente e a massa de água fria é:

$$
\frac{m_q}{m_f} = \frac{1}{4}
$$

Portanto, a razão entre a massa de água quente e a massa de água fria na mistura para um banho à temperatura ideal é $ \frac{1}{4} $.