Ar escoa através de um tubo a uma vazão de 200 L/s, o tubo consiste em duas seções com diâmetros de 20 cm e 10 cm com uma seção de redução suave que as conecta. A diferença de pressão entre as duas seções do tubo é medida por um manômetro de água. Determine a altura diferencial da água entre as duas seções do tubo. Considere a densidade do ar 1,20 kg/m³
A
Aluno
03/10/24

Question

Ar escoa através de um tubo a uma vazão de 200 L/s, o tubo consiste em duas seções com diâmetros de 20 cm e 10 cm com uma seção de redução suave que as conecta. A diferença de pressão entre as duas seções do tubo é medida por um manômetro de água. Determine a altura diferencial da água entre as duas seções do tubo. Considere a densidade do ar 1,20 kg/m³

A

Aluno

03/10/24

Accepted Answer

Para resolver este problema, usaremos a equação de Bernoulli e a equação de continuidade.

### Passos:

1. **Equação de Continuidade**: 
   $$
   A_1 \cdot v_1 = A_2 \cdot v_2
   $$
   onde $A_1$ e $A_2$ são as áreas das seções transversais do tubo, e $v_1$ e $v_2$ são as velocidades do ar nessas seções.

As áreas das seções podem ser calculadas como:
   $$
   A_1 = \frac{\pi \cdot d_1^2}{4} = \frac{\pi \cdot (0,20)^2}{4} = 0,0314 \, \text{m}^2
   $$
   $$
   A_2 = \frac{\pi \cdot d_2^2}{4} = \frac{\pi \cdot (0,10)^2}{4} = 0,00785 \, \text{m}^2
   $$

Como a vazão $ Q = 200 \, \text{L/s} = 0,2 \, \text{m}^3/\text{s} $:
   $$
   v_1 = \frac{Q}{A_1} = \frac{0,2}{0,0314} \approx 6,37 \, \text{m/s}
   $$
   $$
   v_2 = \frac{Q}{A_2} = \frac{0,2}{0,00785} \approx 25,48 \, \text{m/s}
   $$

2. **Equação de Bernoulli**:
   $$
   P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2
   $$
   Rearranjando para encontrar a diferença de pressão:
   $$
   P_1 - P_2 = \frac{1}{2} \rho (v_2^2 - v_1^2)
   $$

Substituindo $\rho = 1,20 \, \text{kg/m}^3$, $v_1 = 6,37 \, \text{m/s}$, e $v_2 = 25,48 \, \text{m/s}$:
   $$
   P_1 - P_2 = \frac{1}{2} \cdot 1,20 \cdot ((25,48)^2 - (6,37)^2)
   $$
   $$
   P_1 - P_2 = 0,6 \cdot (649,23 - 40,57) \approx 365,39 \, \text{Pa}
   $$

3. **Manômetro de Água**:
   A diferença de pressão é igual à pressão hidrostática da coluna de água:
   $$
   \Delta P = \rho_{água} \cdot g \cdot h
   $$
   Onde $\rho_{água} = 1000 \, \text{kg/m}^3$ e $g = 9,81 \, \text{m/s}^2$.

Resolvendo para $h$:
   $$
   h = \frac{\Delta P}{\rho_{água} \cdot g} = \frac{365,39}{1000 \cdot 9,81}
   $$
   $$
   h \approx 0,0372 \, \text{m} = 3,72 \, \text{cm}
   $$

Portanto, a altura diferencial da água entre as duas seções do tubo é aproximadamente **3,72 cm**.

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