As coordenadas usualmente utilizadas na localização de um ponto sobre a superficie terrestre sào a latitude e a longitude. Para tal, considera-se que a Terra tem a forma de uma esfera.

Um meridiano é uma circunferéncia sobre a superficle da Terra que passa pelos polos Norte e Sul, representados na figura por PN E PS. O comprimento da semicircunferência que une os pontos PNe.PS. lem comprimento iguala $ 20016 \mathrm{~km} $. A linha do Equador também é uma circunferência sobre a superficie da Terra, com raio igual ao da Terra, sendo que o plano que a contém é perpendicular ao que contém qualquer meridiano.

Seja $ P $ um ponto na superficie da Terra, $ C $ o centro da Terra e 0 segmento $ \overline{P C} $ um raio, conforme mostra a figura. Seja $ \varphi $ o ângulo que o segmento $ \overline{P C} $ faz com o plano que contém a linha do Equador. A medida em graus de $ \varphi $ é a medida da latitude de $ P $.

Suponha que a partir da linha do Equador um navio viaja subindo em direção ao Polo Norte, percorrendo um meridiano, até um ponto $ P $ com 30 graus de latitude.
Quantos quilômetros são percorridos pelo navio?
a) 1668
b) 3336
c) 5004
d) 6672
e) 10008
4 IIT MATEMATICA

Question

As coordenadas usualmente utilizadas na localização de um ponto sobre a superficie terrestre sào a latitude e a longitude. Para tal, considera-se que a Terra tem a forma de uma esfera.

Um meridiano é uma circunferéncia sobre a superficle da Terra que passa pelos polos Norte e Sul, representados na figura por PN E PS. O comprimento da semicircunferência que une os pontos PNe.PS. lem comprimento iguala $ 20016 \mathrm{~km} $. A linha do Equador também é uma circunferência sobre a superficie da Terra, com raio igual ao da Terra, sendo que o plano que a contém é perpendicular ao que contém qualquer meridiano.

Seja $ P $ um ponto na superficie da Terra, $ C $ o centro da Terra e 0 segmento $ \overline{P C} $ um raio, conforme mostra a figura. Seja $ \varphi $ o ângulo que o segmento $ \overline{P C} $ faz com o plano que contém a linha do Equador. A medida em graus de $ \varphi $ é a medida da latitude de $ P $.

Suponha que a partir da linha do Equador um navio viaja subindo em direção ao Polo Norte, percorrendo um meridiano, até um ponto $ P $ com 30 graus de latitude.
Quantos quilômetros são percorridos pelo navio?
a) 1668
b) 3336
c) 5004
d) 6672
e) 10008
4 IIT MATEMATICA

Accepted Answer

Para resolver essa questão, precisamos entender como a latitude está relacionada com a distância percorrida ao longo de um meridiano. Primeiro, vamos calcular o raio da Terra. Sabendo que o comprimento da semicircunferência de um meridiano é de $20016 \, \text{km}$, podemos usar isso para encontrar o comprimento total do meridiano (circunferência completa) e, em seguida, o raio da Terra.

O comprimento total do meridiano é o dobro do comprimento da semicircunferência:

$$C_{\text{total}} = 2 \times 20016 \, \text{km} = 40032 \, \text{km}$$

A fórmula do comprimento de uma circunferência ($C$) é dada por $C = 2\pi r$, onde $r$ é o raio. Assim, podemos calcular o raio ($r$) da Terra:

$$40032 = 2\pi r$$

$$r = \frac{40032}{2\pi}$$

$$r = \frac{40032}{6.2832} \approx 6371 \, \text{km}$$

Agora, sabemos que a distância percorrida ao longo de um meridiano pode ser calculada considerando-se a proporção da circunferência total que corresponde aos graus de latitude percorridos. Uma volta completa na Terra (360 graus) corresponde ao comprimento total do meridiano, enquanto 30 graus correspondem à distância que queremos encontrar.

Assim, a distância $D$ percorrida para um deslocamento de 30 graus ao longo do meridiano é proporcional à relação entre os 30 graus e os 360 graus totais:

$$D = \frac{30}{360} \times C_{\text{total}}$$

$$D = \frac{30}{360} \times 40032 \, \text{km}$$

$$D = \frac{1}{12} \times 40032 \, \text{km}$$

$$D = 3336 \, \text{km}$$

Portanto, a resposta correta é:

b) 3336

As coordenadas usualmente utilizadas na localização de um po...

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