As equações diferenciais ordinárias são usadas na modelagem e resolução de problemas reais, frequentemente submetidos a simplificações. Para resolver essas equações, é fundamental classificá-las, identificando a estratégia de solução mais adequada.

Diante desse tema, considere a equação diferencial ordinária y’’ - 2y’ + y = 0.

Assinale a alternativa que indica a solução para a equação apresentada:

Q: As equações diferenciais ordinárias são usadas na modelagem e resolução de problemas reais, frequentemente submetidos a simplificações. Para resolver essas equações, é fundamental classificá-las, identificando a estratégia de solução mais adequada. Diante desse tema, considere a equação diferencial ordinária y’’ - 2y’ + y = 0. Assinale a alternativa que indica a solução para a equação apresentada:

Para resolver a equação diferencial ordinária $ y'' - 2y' + y = 0 $, seguimos os seguintes passos: 1. **Identificar o tipo de equação diferencial:** Trata-se de uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. 2. **Encontrar a equação característica:** Para isso, assumimos uma solução da forma $ y = e^{rt} $, onde $ r $ é uma constante. Substituímos na equação diferencial para obter a equação característica: \[ r^2 - 2r + 1 = 0 \] 3. **Resolver a equação característica:** A equação característica é um polinômio quadrático que pode ser resolvido usando a fórmula quadrática: \[ r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] No nosso caso, $ a = 1 $, $ b = -2 $, e $ c = 1 $. Calculamos: \[ r = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2} = \frac{2 \pm 0}{2} = 1 \] 4. **Determinar a solução geral:** Como a equação característica tem uma raiz dupla $ r = 1 $, a solução geral da equação diferencial é dada por: \[ y(t) = (C_1 + C_2 t)e^{rt} = (C_1 + C_2 t)e^{t} \] onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais. **Resposta: y(t) = (C_1 + C_2 t)e^{t}** Esta é a solução geral da equação diferencial dada.

Question

As equações diferenciais ordinárias são usadas na modelagem e resolução de problemas reais, frequentemente submetidos a simplificações. Para resolver essas equações, é fundamental classificá-las, identificando a estratégia de solução mais adequada.

Diante desse tema, considere a equação diferencial ordinária y’’ - 2y’ + y = 0.

Assinale a alternativa que indica a solução para a equação apresentada:

Accepted Answer

Para resolver a equação diferencial ordinária $ y'' - 2y' + y = 0 $, seguimos os seguintes passos:

1. **Identificar o tipo de equação diferencial:** Trata-se de uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes.

2. **Encontrar a equação característica:** Para isso, assumimos uma solução da forma $ y = e^{rt} $, onde $ r $ é uma constante. Substituímos na equação diferencial para obter a equação característica:
   $$
   r^2 - 2r + 1 = 0
   $$

3. **Resolver a equação característica:** A equação característica é um polinômio quadrático que pode ser resolvido usando a fórmula quadrática:
   $$
   r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
   $$
   No nosso caso, $ a = 1 $, $ b = -2 $, e $ c = 1 $. Calculamos:
   $$
   r = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2} = \frac{2 \pm 0}{2} = 1
   $$

4. **Determinar a solução geral:** Como a equação característica tem uma raiz dupla $ r = 1 $, a solução geral da equação diferencial é dada por:
   $$
   y(t) = (C_1 + C_2 t)e^{rt} = (C_1 + C_2 t)e^{t}
   $$
   onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.

**Resposta: y(t) = (C_1 + C_2 t)e^{t}**

Esta é a solução geral da equação diferencial dada.

As equações diferenciais ordinárias são usadas na modelagem ...

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