As integrais curvilíneas independentes do caminho de integração são um conceito importante na teoria da análise vetorial e estão relacionadas ao cálculo de integrais ao longo de curvas no espaço. Considere que o campo de força F = ∇f seja o gradiente da função f(x, y, z) = 1/(x²+y²+z²). Utilizando o Teorema Fundamental das Integrais de Linha e calculando o trabalho realizado por F para movimentar um objeto ao longo de uma curva lisa C que liga (1, 0, 0) a (0, 0, 2) e que não passa pela origem, obtemos:

Question

Accepted Answer

Para resolver o problema, precisamos usar o Teorema Fundamental das Integrais de Linha. O teorema diz que se $ \mathbf{F} = \nabla f $, então a integral de linha de $ \mathbf{F} $ ao longo de uma curva $ C $ de $ \mathbf{r}(a) $ até $ \mathbf{r}(b) $ é dada por:

$$
\int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = f(\mathbf{r}(b)) - f(\mathbf{r}(a))
$$

Aqui, $ f(x, y, z) = -\frac{1}{x^2 + y^2 + z^2} $.

Calculamos $ f $ nos pontos finais da curva $ C $:

1. Para o ponto $ (1, 0, 0) $:
   $$
   f(1, 0, 0) = -\frac{1}{1^2 + 0^2 + 0^2} = -1
   $$

2. Para o ponto $ (0, 0, 2) $:
   $$
   f(0, 0, 2) = -\frac{1}{0^2 + 0^2 + 2^2} = -\frac{1}{4}
   $$

Agora, aplicamos o teorema:

$$
\int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = f(0, 0, 2) - f(1, 0, 0) = -\frac{1}{4} - (-1) = -\frac{1}{4} + 1 = \frac{3}{4}
$$

**Resposta: E**

Portanto, o trabalho realizado é $\frac{3}{4}$.

As integrais curvilíneas independentes do caminho de integra...

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