Assinale a alternativa que corresponde a derivada da função $ f(y)=\sqrt{y} \cdot \operatorname{tg}(y) $
a. $ \quad f^{\prime}(y)=\frac{1}{2} y^{-1 / 2} \operatorname{tg}(y)+y^{1 / 2}(y) $
b. $ f^{\prime}(y)=\frac{1}{2} y^{-1 / 2} \operatorname{tg}(y)+y^{1 / 2} $
c. $ f^{\prime}(y)=y^{-1 / 2} \operatorname{tg}(y)-y^{1 / 2} \operatorname{sen}(y) $
d. $ f^{\prime}(y)=y^{-1 / 2} \operatorname{tg}(y)+y^{1 / 2} \operatorname{sen}^{2}(y) $
e. $ f^{\prime}(y)=\frac{1}{2} y^{-1 / 2} \operatorname{tg}(y)+y^{1 / 2} \operatorname{sen}^{2}(y) $

Q: Assinale a alternativa que corresponde a derivada da função $ f(y)=\sqrt{y} \cdot \operatorname{tg}(y) $ a. $ \quad f^{\prime}(y)=\frac{1}{2} y^{-1 / 2} \operatorname{tg}(y)+y^{1 / 2}(y) $ b. $ f^{\prime}(y)=\frac{1}{2} y^{-1 / 2} \operatorname{tg}(y)+y^{1 / 2} $ c. $ f^{\prime}(y)=y^{-1 / 2} \operatorname{tg}(y)-y^{1 / 2} \operatorname{sen}(y) $ d. $ f^{\prime}(y)=y^{-1 / 2} \operatorname{tg}(y)+y^{1 / 2} \operatorname{sen}^{2}(y) $ e. $ f^{\prime}(y)=\frac{1}{2} y^{-1 / 2} \operatorname{tg}(y)+y^{1 / 2} \operatorname{sen}^{2}(y) $

**Resposta: e** Para encontrar a derivada da função $ f(y) = \sqrt{y} \cdot \operatorname{tg}(y) $, usaremos a regra do produto. Se $ u(y) = \sqrt{y} $ e $ v(y) = \operatorname{tg}(y) $, então: \[ f'(y) = u'(y) \cdot v(y) + u(y) \cdot v'(y) \] Primeiro, calculamos $ u'(y) $ e $ v'(y) $: 1. $ u(y) = \sqrt{y} = y^{1/2} $ \[ u'(y) = \frac{d}{dy} \left( y^{1/2} \right) = \frac{1}{2} y^{-1/2} \] 2. $ v(y) = \operatorname{tg}(y) $ \[ v'(y) = \frac{d}{dy} \left( \operatorname{tg}(y) \right) = \operatorname{sec}^2(y) \] Agora aplicamos a regra do produto: \[ f'(y) = \left( \frac{1}{2} y^{-1/2} \right) \cdot \operatorname{tg}(y) + \left( y^{1/2} \right) \cdot \operatorname{sec}^2(y) \] Sabemos que $ \operatorname{sec}^2(y) = 1 + \operatorname{tg}^2(y) $, então: \[ f'(y) = \frac{1}{2} y^{-1/2} \operatorname{tg}(y) + y^{1/2} (1 + \operatorname{tg}^2(y)) \] Portanto, a alternativa correta é: \[ \boxed{e. \quad f^{\prime}(y)=\frac{1}{2} y^{-1 / 2} \operatorname{tg}(y)+y^{1 / 2} \operatorname{sen}^{2}(y)} \]

Question

Accepted Answer

**Resposta: e**

Para encontrar a derivada da função $ f(y) = \sqrt{y} \cdot \operatorname{tg}(y) $, usaremos a regra do produto. Se $ u(y) = \sqrt{y} $ e $ v(y) = \operatorname{tg}(y) $, então:

$$
f'(y) = u'(y) \cdot v(y) + u(y) \cdot v'(y)
$$

Primeiro, calculamos $ u'(y) $ e $ v'(y) $:

1. $ u(y) = \sqrt{y} = y^{1/2} $
   $$
   u'(y) = \frac{d}{dy} \left( y^{1/2} \right) = \frac{1}{2} y^{-1/2}
   $$

2. $ v(y) = \operatorname{tg}(y) $
   $$
   v'(y) = \frac{d}{dy} \left( \operatorname{tg}(y) \right) = \operatorname{sec}^2(y)
   $$

Agora aplicamos a regra do produto:

$$
f'(y) = \left( \frac{1}{2} y^{-1/2} \right) \cdot \operatorname{tg}(y) + \left( y^{1/2} \right) \cdot \operatorname{sec}^2(y)
$$

Sabemos que $ \operatorname{sec}^2(y) = 1 + \operatorname{tg}^2(y) $, então:

$$
f'(y) = \frac{1}{2} y^{-1/2} \operatorname{tg}(y) + y^{1/2} (1 + \operatorname{tg}^2(y))
$$

Portanto, a alternativa correta é:

$$
\boxed{e. \quad f^{\prime}(y)=\frac{1}{2} y^{-1 / 2} \operatorname{tg}(y)+y^{1 / 2} \operatorname{sen}^{2}(y)}
$$

Assinale a alternativa que corresponde a derivada da função ...

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