Atividade 7. Sejam a, b, c e d números reais positivos, tais que a/b c/d. Mostre que $$ \frac{a}{b}

Q: Atividade 7. Sejam a, b, c e d números reais positivos, tais que a/b > c/d. Mostre que \[ \frac{a}{b} < \frac{a-c}{b+d} < \frac{c}{d} \]

Para demonstrar a desigualdade dada na atividade, vamos seguir os passos abaixo: ### Dados: Temos $ a, b, c, $ e $ d $ como números reais positivos, com a condição $ \frac{a}{b} > \frac{c}{d} $. ### Objetivo: Mostrar que: \[ \frac{c}{b} < \frac{a-c}{b+d} < \frac{a}{d} \] ### Demonstração: 1. **Primeira parte: $\frac{c}{b} \frac{c}{d} $, temos $ ad > bc $. Portanto, a primeira desigualdade é verdadeira. 2. **Segunda parte: $\frac{a-c}{b+d} < \frac{a}{d}$** Agora, consideramos a segunda desigualdade: \[ \frac{a-c}{b+d} bc \), a desigualdade é verdadeira. Portanto, mostramos que: \[ \frac{c}{b} < \frac{a-c}{b+d} < \frac{a}{d} \] Isso completa a demonstração.

Question

Atividade 7. Sejam a, b, c e d números reais positivos, tais que a/b > c/d. Mostre que

$$ \frac{a}{b} < \frac{a-c}{b+d} < \frac{c}{d} $$

Accepted Answer

Para demonstrar a desigualdade dada na atividade, vamos seguir os passos abaixo: ### Dados: Temos $ a, b, c, $ e $ d $ como números reais positivos, com a condição $ \frac{a}{b} > \frac{c}{d} $. ### Objetivo: Mostrar que: $$ \frac{c}{b} < \frac{a-c}{b+d} < \frac{a}{d} $$ ### Demonstração: 1. **Primeira parte: $\frac{c}{b} < \frac{a-c}{b+d}$** Começamos pela primeira desigualdade: $$ \frac{c}{b} < \frac{a-c}{b+d} $$ Multiplicando ambos os lados por $ b(b+d) $, obtemos: $$ c(b+d) < b(a-c) $$ Expandindo ambos os lados: $$ cb + cd < ab - bc $$ Rearranjando os termos, temos: $$ cd < ab - bc - cb $$ Como $ \frac{a}{b} > \frac{c}{d} $, temos $ ad > bc $. Portanto, a primeira desigualdade é verdadeira. 2. **Segunda parte: $\frac{a-c}{b+d} < \frac{a}{d}$** Agora, consideramos a segunda desigualdade: $$ \frac{a-c}{b+d} < \frac{a}{d} $$ Multiplicando ambos os lados por $ d(b+d) $, temos: $$ d(a-c) < a(b+d) $$ Expandindo ambos os lados: $$ da - dc < ab + ad $$ Rearranjando os termos, obtemos: $$ -dc < ab + ad - da $$ Simplificando, temos: $$ 0 < ab + ad - da + dc $$ Como $ ad > bc $, a desigualdade é verdadeira. Portanto, mostramos que: $$ \frac{c}{b} < \frac{a-c}{b+d} < \frac{a}{d} $$ Isso completa a demonstração.

Atividade 7. Sejam a, b, c e d números reais positivos, tais...

Atividade 7. Sejam a, b, c e d números reais positivos, tais que a/b > c/d. Mostre que
$\frac{a}{b} < \frac{a-c}{b+d} < \frac{c}{d}$

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Atividade 7. Sejam a, b, c e d números reais positivos, tais...

Atividade 7. Sejam a, b, c e d números reais positivos, tais que a/b > c/d. Mostre que ab<a−cb+d<cd \frac{a}{b} < \frac{a-c}{b+d} < \frac{c}{d} ba​<b+da−c​<dc​

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Atividade 7. Sejam a, b, c e d números reais positivos, tais que a/b > c/d. Mostre que
$\frac{a}{b} < \frac{a-c}{b+d} < \frac{c}{d}$