Atividade sobre conceito de derivada:

Ao lado, o gráfico apresenta a função f(x)=x^2 e uma reta tangente à f no ponto A.
(1) Arraste lentamente o ponto A;
(2) Verifique que o declive da reta tangente à função f no ponto A é representado
pela ordenada de Q;
(3) Derive numa folha de papel a função f(x)=x^2 e compare com o trajeto
desenhado pelo ponto Q.
(4) O que o declive da reta tangente tem a ver com a definição de derivada?
Para responder a questão 4, escreva o declive da reta tangente de uma forma
genérica, considerando as abscissas a e x, chamando y(x) de f(x) e y(a) de f(a).
Agora use a seguinte definição de derivada: A derivada de uma função f em um
número a, denotada por f(a), é

$$f'(a) = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

e chame a + h = x. Com as devidas mudanças, pergunta-se novamente:
Qual a relação entre o declive da reta tangente à função f e a derivada de f?

Question

Atividade sobre conceito de derivada:

Ao lado, o gráfico apresenta a função f(x)=x^2 e uma reta tangente à f no ponto A.
(1) Arraste lentamente o ponto A;
(2) Verifique que o declive da reta tangente à função f no ponto A é representado
pela ordenada de Q;
(3) Derive numa folha de papel a função f(x)=x^2 e compare com o trajeto
desenhado pelo ponto Q.
(4) O que o declive da reta tangente tem a ver com a definição de derivada?
Para responder a questão 4, escreva o declive da reta tangente de uma forma
genérica, considerando as abscissas a e x, chamando y(x) de f(x) e y(a) de f(a).
Agora use a seguinte definição de derivada: A derivada de uma função f em um
número a, denotada por f(a), é

$$f'(a) = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

e chame a + h = x. Com as devidas mudanças, pergunta-se novamente:
Qual a relação entre o declive da reta tangente à função f e a derivada de f?

Accepted Answer

A derivada de uma função em um ponto representa a taxa de variação instantânea da função nesse ponto. Geometricamente, essa taxa de variação é o declive da reta tangente ao gráfico da função no ponto considerado.

1.  **Ao arrastar o ponto A:** Ao mover o ponto A ao longo da curva $f(x) = x^2$, você observa que a reta tangente à curva em A muda de inclinação.
2.  **Declive da reta tangente e ordenada de Q:** O declive da reta tangente no ponto A é exatamente o valor da derivada da função $f(x)$ no ponto A. No gráfico, a ordenada do ponto Q representa esse valor, mostrando visualmente como a derivada varia ao longo da curva.
3.  **Derivação de $f(x) = x^2$:**
    A derivada de $f(x) = x^2$ é encontrada usando a regra da potência:
    $$f'(x) = 2x$$
    O trajeto desenhado pelo ponto Q representa graficamente essa derivada. Para cada valor de $x$ (abscissa do ponto A), a ordenada do ponto Q é $2x$, que é o valor da derivada de $f(x) = x^2$ nesse ponto.
4.  **Declive da reta tangente e definição de derivada:**
    O declive da reta tangente é a representação geométrica da derivada. A derivada é definida como o limite da taxa de variação média da função quando o intervalo se aproxima de zero. Matematicamente:
    $$f'(a) = \lim_{h 	o 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$
    Este limite calcula o declive da reta tangente no ponto $x = a$.

**Relação entre o declive da reta tangente e a derivada de f:**

O declive da reta tangente à função $f$ em um ponto é, por definição, a derivada de $f$ nesse ponto. A derivada fornece a taxa de variação instantânea da função, que é visualizada como a inclinação da reta tangente. Portanto, eles são conceitualmente a mesma coisa, expressos de maneiras diferentes: a derivada é o valor numérico, e o declive da reta tangente é a interpretação geométrica desse valor.

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