Através do método de escalonamento encontre a solução para o sistema
20x + 5y = 140
x + y = 10

Question

Através do método de escalonamento encontre a solução para o sistema 
 20x + 5y = 140 
x + y = 10

Accepted Answer

Vamos resolver o sistema de equações lineares utilizando o método de escalonamento (ou eliminação de Gauss). O sistema é:

$$
\begin{cases}
20x + 5y = 140 \
x + y = 10
\end{cases}
$$

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de uma matriz aumentada:

$$
\begin{pmatrix}
20 & 5 & | & 140 \
1 & 1 & | & 10
\end{pmatrix}
$$

Agora, vamos escalonar a matriz. O objetivo é transformar a matriz aumentada em uma matriz triangular superior.

1. Manteremos a primeira linha como está:

$$
\begin{pmatrix}
20 & 5 & | & 140 \
1 & 1 & | & 10
\end{pmatrix}
$$

2. Vamos eliminar o termo $x$ da segunda linha. Para isso, subtraímos $\frac{1}{20}$ da primeira linha da segunda linha:

$$
L_2 \leftarrow L_2 - \frac{1}{20}L_1
$$

Calculando:

$$
L_2 = \begin{pmatrix} 1 & 1 & | & 10 \end{pmatrix} - \frac{1}{20} \begin{pmatrix} 20 & 5 & | & 140 \end{pmatrix}
$$

$$
L_2 = \begin{pmatrix} 1 & 1 & | & 10 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & \frac{5}{20} & | & 7 \end{pmatrix}
$$

$$
L_2 = \begin{pmatrix} 1 - 1 & 1 - \frac{5}{20} & | & 10 - 7 \end{pmatrix}
$$

$$
L_2 = \begin{pmatrix} 0 & \frac{15}{20} & | & 3 \end{pmatrix}
$$

Simplificando:

$$
L_2 = \begin{pmatrix} 0 & \frac{3}{4} & | & 3 \end{pmatrix}
$$

A matriz aumentada agora fica:

$$
\begin{pmatrix}
20 & 5 & | & 140 \
0 & \frac{3}{4} & | & 3
\end{pmatrix}
$$

3. Vamos simplificar a segunda linha dividindo todos os termos por $\frac{3}{4}$:

$$
L_2 \leftarrow \frac{4}{3}L_2
$$

$$
L_2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & | & 4 \end{pmatrix}
$$

A matriz aumentada escalonada é:

$$
\begin{pmatrix}
20 & 5 & | & 140 \
0 & 1 & | & 4
\end{pmatrix}
$$

4. Agora voltamos para a forma original substituindo $y$ na primeira linha:

$$
20x + 5y = 140
$$

Substituindo $y = 4$:

$$
20x + 5(4) = 140
$$

$$
20x + 20 = 140
$$

$$
20x = 120
$$

$$
x = 6
$$

Portanto, a solução do sistema é:

$$
\begin{cases}
x = 6 \
y = 4
\end{cases}
$$

Através do método de escalonamento encontre a solução para o...