B.3.3 Obtenha uma representação no espaço de estados do sistema mecânico indicado na Figura 3.32, onde u1 e u2 são as entradas e y1 e y2 são as saídas.

FIGURA 3.32
Sistema mecânico.

Question

B.3.3 Obtenha uma representação no espaço de estados do sistema mecânico indicado na Figura 3.32, onde u1 e u2 são as entradas e y1 e y2 são as saídas.

FIGURA 3.32
Sistema mecânico.

Accepted Answer

Para obter a representação no espaço de estados de um sistema mecânico como o da figura, precisamos modelar as equações de movimento usando as leis de Newton. Vamos considerar as forças atuantes e as relações entre as variáveis.

### Passos para encontrar a representação no espaço de estados:

1. **Defina as variáveis de estado:**
   - $ x_1 = y_1 $ (posição de $ m_1 $)
   - $ x_2 = \dot{y}_1 $ (velocidade de $ m_1 $)
   - $ x_3 = y_2 $ (posição de $ m_2 $)
   - $ x_4 = \dot{y}_2 $ (velocidade de $ m_2 $)

2. **Escreva as equações de movimento:**

Para $ m_1 $:
   $$
   m_1 \ddot{y}_1 = -k_1 y_1 - b_1 (\dot{y}_1 - \dot{y}_2) + k_2 (y_2 - y_1) + u_1
   $$

Para $ m_2 $:
   $$
   m_2 \ddot{y}_2 = -k_2 (y_2 - y_1) + b_1 (\dot{y}_1 - \dot{y}_2) + u_2
   $$

3. **Expressar em forma de espaço de estados:**

$$
   \begin{bmatrix}
   \dot{x}_1 \
   \dot{x}_2 \
   \dot{x}_3 \
   \dot{x}_4
   \end{bmatrix}
   =
   \begin{bmatrix}
   x_2 \
   \frac{-k_1 x_1 - b_1 (x_2 - x_4) + k_2 (x_3 - x_1) + u_1}{m_1} \
   x_4 \
   \frac{-k_2 (x_3 - x_1) + b_1 (x_2 - x_4) + u_2}{m_2}
   \end{bmatrix}
   $$

4. **Saídas do sistema:**

$$
   \begin{bmatrix}
   y_1 \
   y_2
   \end{bmatrix}
   =
   \begin{bmatrix}
   x_1 \
   x_3
   \end{bmatrix}
   $$

Esta é a representação no espaço de estados do sistema mecânico.

B.3.3 Obtenha uma representação no espaço de estados do sist...

B.3.3 Obtenha uma representação no espaço de estados do sistema mecânico indicado na Figura 3.32, onde u1 e u2 são as entradas e y1 e y2 são as saídas.

FIGURA 3.32 Sistema mecânico.

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B.3.3 Obtenha uma representação no espaço de estados do sist...

B.3.3 Obtenha uma representação no espaço de estados do sistema mecânico indicado na Figura 3.32, onde u1 e u2 são as entradas e y1 e y2 são as saídas. FIGURA 3.32 Sistema mecânico.

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B.3.3 Obtenha uma representação no espaço de estados do sistema mecânico indicado na Figura 3.32, onde u1 e u2 são as entradas e y1 e y2 são as saídas.

FIGURA 3.32 Sistema mecânico.