b) Calcule $ \oint_{c}-y d x+x d y $ utilizando o Teorema de Green.
c) O que se pode concluir a respeito dos cálculos efetuados nas alternativas anteriores?
Desejo a você, um excelente trabalho!
Professora Dra. Rebecca ManescQ Paixão.

Question

Accepted Answer

Muito obrigado, Professora Dra. Rebecca ManescQ Paixão! Vamos resolver os itens solicitados:

### b) Calcule $ \oint_{c} -y \, dx + x \, dy $ utilizando o Teorema de Green.

O Teorema de Green relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada $ C $ com uma integral dupla sobre a região $ D $ delimitada por $ C $. O teorema é dado por:

$$
\oint_{C} (P \, dx + Q \, dy) = \iint_{D} \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \, dA
$$

No nosso caso, temos $ P(x,y) = -y $ e $ Q(x,y) = x $. Portanto, precisamos calcular as derivadas parciais:

$$
\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial x}{\partial x} = 1
$$
$$
\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial (-y)}{\partial y} = -1
$$

Substituindo essas derivadas na fórmula do Teorema de Green, obtemos:

$$
\oint_{C} -y \, dx + x \, dy = \iint_{D} \left( 1 - (-1) \right) \, dA = \iint_{D} 2 \, dA
$$

A integral dupla $ \iint_{D} 2 \, dA $ representa duas vezes a área da região $ D $. Se a região $ D $ for um círculo de raio $ r $, por exemplo, a área $ A $ é dada por $ \pi r^2 $. Assim, a integral se torna:

$$
\oint_{C} -y \, dx + x \, dy = 2 \cdot \text{Área}(D) = 2 \cdot \pi r^2
$$

### c) O que se pode concluir a respeito dos cálculos efetuados nas alternativas anteriores?

Conclusão: Utilizando o Teorema de Green, transformamos uma integral de linha em uma integral dupla sobre a região delimitada pela curva. Especificamente, vimos que a integral de linha $ \oint_{C} -y \, dx + x \, dy $ resulta em duas vezes a área da região $ D $. Isso demonstra a utilidade do Teorema de Green em simplificar certos tipos de integrais de linha, convertendo-as em integrais duplas que podem ser mais fáceis de calcular dependendo da geometria da região $ D $.

Espero que isso ajude! Se precisar de mais alguma coisa, estou à disposição.

b) Calcule utilizando o Teorema de Green. c) O que se pode ...

b) Calcule $\oint_{c}-y d x+x d y$ utilizando o Teorema de Green. c) O que se pode concluir a respeito dos cálculos efetuados nas alternativas anteriores? Desejo a você, um excelente trabalho! Professora Dra. Rebecca ManescQ Paixão.

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b) Calcule utilizando o Teorema de Green. c) O que se pode ...

b) Calcule ∮c−ydx+xdy\oint_{c}-y d x+x d y∮c​−ydx+xdy utilizando o Teorema de Green. c) O que se pode concluir a respeito dos cálculos efetuados nas alternativas anteriores? Desejo a você, um excelente trabalho! Professora Dra. Rebecca ManescQ Paixão.

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b) Calcule $\oint_{c}-y d x+x d y$ utilizando o Teorema de Green. c) O que se pode concluir a respeito dos cálculos efetuados nas alternativas anteriores? Desejo a você, um excelente trabalho! Professora Dra. Rebecca ManescQ Paixão.