c, 46. Determine as raízes na equação $x³$ - $9x² +26x - 24 = 0$,
sabendo que elas estão em P.A?

Question

Accepted Answer

Aqui está a solução passo a passo para determinar as raízes da equação, sabendo que elas estão em progressão aritmética (PA):

A equação dada é:
$$x^3 - 9x^2 + 26x - 24 = 0$$

Como as raízes estão em PA, podemos representá-las como:
$$a - r, a, a + r$$
onde $a$ é o termo médio e $r$ é a razão da PA.

Pelas relações de Girard (relações entre os coeficientes de um polinômio e suas raízes), temos:

1. Soma das raízes:
$$(a - r) + a + (a + r) = - \frac{-9}{1}$$
$$3a = 9$$
$$a = 3$$

2. Produto das raízes:
$$(a - r) \cdot a \cdot (a + r) = - \frac{-24}{1}$$
$$a(a^2 - r^2) = 24$$

Substituindo $a = 3$ na segunda equação:
$$3(3^2 - r^2) = 24$$
$$3(9 - r^2) = 24$$
$$9 - r^2 = 8$$
$$r^2 = 1$$
$$r = \pm 1$$

Agora, vamos encontrar as raízes:

Se $r = 1$:
As raízes são $a - r = 3 - 1 = 2$, $a = 3$, e $a + r = 3 + 1 = 4$.

Se $r = -1$:
As raízes são $a - r = 3 - (-1) = 4$, $a = 3$, e $a + r = 3 + (-1) = 2$.

Em ambos os casos, as raízes são 2, 3 e 4.

Portanto, as raízes da equação são 2, 3 e 4.

Para verificar, podemos substituir as raízes na equação original:
Para $x = 2$:
$$2^3 - 9(2^2) + 26(2) - 24 = 8 - 36 + 52 - 24 = 0$$

Para $x = 3$:
$$3^3 - 9(3^2) + 26(3) - 24 = 27 - 81 + 78 - 24 = 0$$

Para $x = 4$:
$$4^3 - 9(4^2) + 26(4) - 24 = 64 - 144 + 104 - 24 = 0$$

Todas as raízes satisfazem a equação.

As raízes são 2, 3 e 4.

c, 46. Determine as raízes na equação $x³$ - $9x² +26x - 24 ...