c) As diagonais de um retângulo cortam-se formando um ângulo de $ 70^{\circ} $. Determine o menor ângulo que uma dessas diagonais forma com um dos lados.

Question

Accepted Answer

Para determinar o menor ângulo que uma das diagonais de um retângulo forma com um dos lados, precisamos entender a geometria do problema.

Em um retângulo, as diagonais são congruentes e se cortam ao meio. Quando duas diagonais se cruzam, elas formam quatro ângulos no ponto de interseção. Como as diagonais são simétricas em relação ao centro do retângulo, esses quatro ângulos são iguais dois a dois.

Dado que as diagonais se cruzam formando um ângulo de $70^{\circ}$, isso significa que temos dois ângulos de $70^{\circ}$ e dois ângulos suplementares (ou seja, $180^{\circ} - 70^{\circ} = 110^{\circ}$).

Agora, para encontrar o menor ângulo que uma dessas diagonais forma com um dos lados do retângulo, vamos considerar um triângulo retângulo formado por metade da diagonal, metade do comprimento do retângulo e metade da largura do retângulo.

Vamos chamar os lados do retângulo de $a$ e $b$. A diagonal do retângulo pode ser encontrada usando o Teorema de Pitágoras:
$$
d = \sqrt{a^2 + b^2}
$$

O ângulo que queremos encontrar é aquele entre a diagonal $d$ e um dos lados do retângulo, digamos $a$. Vamos chamar esse ângulo de $\theta$.

Podemos usar a tangente desse ângulo no triângulo retângulo formado:
$$
\tan(\theta) = \frac{b}{a}
$$

Então, o ângulo $\theta$ é dado por:
$$
\theta = \arctan\left(\frac{b}{a}\right)
$$

No entanto, sabemos que as diagonais formam um ângulo de $70^{\circ}$ entre si. Cada diagonal divide esse ângulo ao meio, então cada metade é $35^{\circ}$.

Portanto, o menor ângulo que uma das diagonais forma com um dos lados do retângulo é:
$$
\boxed{35^{\circ}}
$$

c) As diagonais de um retângulo cortam-se formando um ângulo...

c) As diagonais de um retângulo cortam-se formando um ângulo de $70^{\circ}$ . Determine o menor ângulo que uma dessas diagonais forma com um dos lados.

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c) As diagonais de um retângulo cortam-se formando um ângulo de 70∘70^{\circ}70∘. Determine o menor ângulo que uma dessas diagonais forma com um dos lados.

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